7. (Ita) Tangenciando externamente a elipse ”�, tal que ”�:9x£+4y£-72x-24y+144=0, considere uma elipse ”‚, de eixo maior sobre a reta que suporta o...

Para encontrar o centro da elipse ”‚, podemos utilizar as informações fornecidas no enunciado. Sabemos que a elipse ”‚ tem o mesmo tamanho de eixos que a elipse ”� e que o eixo maior de ”‚ está sobre a reta que suporta o eixo menor de ”�. Além disso, sabemos que ”‚ está inteiramente contida no primeiro quadrante. Podemos começar encontrando as coordenadas do ponto de tangência entre as duas elipses. Para isso, podemos utilizar o fato de que a reta que une o centro da elipse ”� ao ponto de tangência é perpendicular à tangente da elipse ”� nesse ponto. Podemos encontrar a equação da tangente da elipse ”� no ponto de tangência utilizando a fórmula: y = - (b^2/a^2) * (x - x0) + y0 onde a e b são os semieixos da elipse ”�, (x0, y0) é o centro da elipse ”� e x e y são as coordenadas do ponto de tangência. Substituindo os valores, temos: 9x^2 + 4y^2 - 72x - 24y + 144 = 0 y = (3/4)x - 3 Substituindo y na equação da elipse ”�, temos: 9x^2 + 4(3/4x - 3)^2 - 72x - 24(3/4x - 3) + 144 = 0 Simplificando, temos: 25x^2 - 432x + 1080 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: x = 8,64 ou x = 1,36 Como a elipse ”‚ está inteiramente contida no primeiro quadrante, a coordenada x do ponto de tangência é 8,64. Substituindo na equação da tangente, encontramos: y = - (3/4) * (8,64 - 4) + 3 = 2,4 Assim, o ponto de tangência é (8,64, 2,4). Como a elipse ”‚ tem o mesmo tamanho de eixos que a elipse ”� e está inteiramente contida no primeiro quadrante, seu centro deve estar no ponto médio entre o ponto de tangência e a origem. Assim, o centro de ”‚ é: ((8,64 + 0)/2, (2,4 + 0)/2) = (4,32, 1,2) Portanto, a alternativa correta é a letra A) (7,3).