(ITA) Tangenciando externamente a elipse 1, tal que 1: 9x^2 + 4y^2 - 72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse 2, de eixo maior sobre a reta que s...

Para encontrar o centro da elipse $\epsilon_2$, podemos utilizar as seguintes informações: - A elipse $\epsilon_2$ tem o mesmo tamanho de eixo que a elipse $\epsilon_1$. - O eixo maior de $\epsilon_2$ está sobre a reta que suporta o eixo menor de $\epsilon_1$. - $\epsilon_2$ está inteiramente contida no primeiro quadrante. Podemos começar encontrando o centro da elipse $\epsilon_1$: - Dividindo a equação por 144, temos: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} - \frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 1 = 0$. - Podemos reescrever a equação como: $(x - 8)^2/16 + (y - 3)^2/36 = 1$. - Portanto, o centro de $\epsilon_1$ é (8, 3). Agora, podemos utilizar as informações sobre $\epsilon_2$ para encontrar seu centro: - O eixo maior de $\epsilon_2$ está sobre a reta que suporta o eixo menor de $\epsilon_1$, que é a reta $y = 3$. - Como $\epsilon_2$ está inteiramente contida no primeiro quadrante, seu centro deve estar no primeiro quadrante e, portanto, sua coordenada $y$ deve ser positiva. - Além disso, como $\epsilon_2$ tangencia externamente $\epsilon_1$, o centro de $\epsilon_2$ deve estar sobre a reta perpendicular à reta $y = 3$ que passa pelo ponto de tangência entre as duas elipses. Podemos encontrar o ponto de tangência entre as duas elipses resolvendo o sistema formado pelas equações das duas elipses: $\begin{cases} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} - \frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 1 = 0 \\ \frac{(x - a)^2}{16} + \frac{(y - b)^2}{36} = 1 \end{cases}$ Substituindo $y = 3$ na primeira equação, temos: $\frac{x^2}{16} + 1 - \frac{x}{2} - 1 + 1 = 0$ $\frac{x^2}{16} - \frac{x}{2} = 0$ $x(x - 8) = 0$ Portanto, o ponto de tangência entre as duas elipses é (8, 3). A reta perpendicular à reta $y = 3$ que passa pelo ponto (8, 3) é a reta $x = 8$. Assim, o centro de $\epsilon_2$ é dado por (8, $y_0$), onde $y_0$ é a coordenada $y$ do centro de $\epsilon_2$. Substituindo as coordenadas do centro de $\epsilon_1$ na equação da elipse $\epsilon_2$, temos: $\frac{(x - 8)^2}{16} + \frac{(y - y_0)^2}{36} = 1$ Como $\epsilon_2$ tem o mesmo tamanho de eixo que $\epsilon_1$, temos: - O eixo maior de $\epsilon_2$ tem medida 6. - O eixo menor de $\epsilon_2$ tem medida 4. Portanto, a distância do centro de $\epsilon_2$ até a reta $y = 3$ é 2. Substituindo $y = 3$ e $x = 8$ na equação da elipse $\epsilon_2$, temos: $\frac{(8 - 8)^2}{16} + \frac{(3 - y_0)^2}{36} = 1$ $\frac{(3 - y_0)^2}{36} = 1$ $(3 - y_0)^2 = 36$ $3 - y_0 = \pm 6$ $y_0 = -3$ ou $y_0 = 9$ Como $\epsilon_2$ está inteiramente contida no primeiro quadrante, temos $y_0 = 9$. Portanto, o centro de $\epsilon_2$ é (8, 9). Resposta: letra d) (9,3).