43. (Mackenzie) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo ™=3, se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é: ...

Para resolver essa questão, precisamos utilizar algumas fórmulas da geometria. Primeiramente, sabemos que a área total do cubo é 54, então cada face do cubo tem área 9 (54/6). Como a base do cone está inscrita em uma das faces do cubo, a área da base do cone é 9. Além disso, sabemos que o ângulo formado pela geratriz do cone e a base é um ângulo reto, ou seja, tem medida de 90 graus. Como a tangente de 90 graus é infinita, podemos utilizar a fórmula tg(θ) = sen(θ)/cos(θ) para calcular a altura do cone. Como a tangente de 90 graus é infinita, o cosseno de 90 graus é zero, então a fórmula fica tg(90) = sen(90)/cos(90) = ∞/0. Isso significa que a altura do cone é igual à altura do cubo, que é a diagonal da face do cubo. Como a diagonal de um quadrado é igual a √2 vezes o lado, a altura do cone é √2 vezes a aresta do cubo. Agora podemos calcular o volume do cone utilizando a fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base do cone e h é a altura do cone. Como a base do cone tem área 9, o raio do cone é √(9/π) = 3/√π. Substituindo os valores na fórmula, temos: V = (1/3)π(3/√π)²(√2a) V = (1/3)π(9/π)(√2a) V = 3√2a Substituindo a área total do cubo, que é 54, temos: 54 = 6a² a² = 9 a = 3 Substituindo o valor de a na fórmula do volume do cone, temos: V = 3√2(3) V = 9√2 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 81/2.