Na figura a seguir, a pirâmide de vértice A tem por base uma das faces do cubo de lado k. Se a área lateral dessa pirâmide é 4+4Ë2, então o volume ...

Para encontrar o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide, precisamos subtrair o volume da pirâmide do volume do cubo. A área lateral da pirâmide é dada por 4 + 4√2, e sabemos que a área lateral de uma pirâmide é dada por: Al = Pl . L / 2 Onde Pl é o perímetro da base e L é a medida da geratriz da pirâmide. Como a base da pirâmide é um quadrado (uma das faces do cubo), temos que Pl = 4k e L = √(k² + (k√2/2)²) = k√(5/2). Substituindo esses valores na fórmula da área lateral, temos: 4 + 4√2 = 2k√(5/2) Simplificando, temos: 2 + 2√2 = k√5 Elevando ao quadrado, temos: 8 + 8√2 + 8 = 5k² 16 + 8√2 = 5k² k² = (16 + 8√2) / 5 Agora podemos calcular o volume da pirâmide. Como a base é um quadrado de lado k, temos que a área da base é k², e como a altura da pirâmide é k (pois o vértice está acima do centro da base), temos que o volume é: Vp = (1/3) . k² . k = k³ / 3 O volume do cubo é k³, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é: V = k³ - Vp = k³ - k³ / 3 = 2k³ / 3 Substituindo k² por (16 + 8√2) / 5, temos: V = 2k³ / 3 = 2/3 . (k²) . k = 2/3 . (16 + 8√2) / 5 . √[(16 + 8√2) / 5] Simplificando, temos: V = 16√(2/5) + 32/15 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 16/3.