Para que o polinômio P(x)=x¥-3x¤+mx£+nx-1 seja divisível por (x-2)(x+1), o valor de -7m+n deve ser igual a

Para que o polinômio P(x) = x³ - 3x² + mx² + nx - 1 seja divisível por (x - 2)(x + 1), é necessário que os fatores (x - 2) e (x + 1) sejam divisores de P(x). Podemos usar o método da divisão sintética para encontrar os valores de m e n que satisfazem essa condição. Começamos dividindo P(x) por (x - 2): 2 | 1 -3 m n -1 | 2-m 4-2m n+2m-8 |______________ 1 -1 m+2 n+2m-9 O resultado da divisão é x² - x + (m + 2) + (n + 2m - 9)/(x - 2). Agora, dividimos o resultado anterior por (x + 1): -1 | 1 -1 m+2 n+2m-9 | -1 2-m n+3m-7 |_______________ 1 -2 n+5m-16 O resultado da segunda divisão é x - 2 + (n + 5m - 16)/(x + 1). Como o polinômio P(x) é divisível por (x - 2)(x + 1), o resto da segunda divisão deve ser igual a zero. Portanto, temos: n + 5m - 16 = 0 Também sabemos que o termo independente de P(x) é -1. Substituindo x = 0 em P(x), temos: P(0) = 0³ - 3(0)² + m(0)² + n(0) - 1 = -1 Portanto, temos: -1 = -1(2 - 2) (0 + 1) + (m + 2)2 - (n + 2m - 9)/(2 - 2) (0 + 1) Simplificando, temos: -1 = 2 + m - n - 7m + n -1 = -5m + 2 5m = 4 m = 4/5 Substituindo m na equação n + 5m - 16 = 0, temos: n + 5(4/5) - 16 = 0 n = 6 Portanto, -7m + n = -7(4/5) + 6 = -2/5. Logo, o valor de -7m + n é igual a -2/5.