Considere o polinômio p(x) = x¤ - 2x£ + 5x + 26. a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio. b) Prove que p(x) > 0 para todo n...

a) Para verificar se o número complexo 2 + 3i é raiz do polinômio p(x), basta substituí-lo em p(x) e verificar se o resultado é igual a zero. Assim, temos: p(2 + 3i) = (2 + 3i)² - 2(2 + 3i)³ + 5(2 + 3i) + 26 p(2 + 3i) = 4 + 12i - 9i² - 16 - 72i - 54i² + 10 + 15i + 26 p(2 + 3i) = -33 - 45i Como o resultado é diferente de zero, concluímos que 2 + 3i não é raiz do polinômio p(x). b) Para provar que p(x) > 0 para todo número real x > -2, podemos utilizar o método da análise do discriminante. Primeiramente, vamos encontrar as raízes do polinômio: x² - 2x + 5x + 26 = 0 x² + 3x + 26 = 0 Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos: Δ = b² - 4ac Δ = 3² - 4(1)(26) Δ = -95 Como o discriminante é negativo, as raízes do polinômio são números complexos conjugados. Como o coeficiente do termo de maior grau é positivo, o gráfico do polinômio é uma parábola com concavidade para cima. Portanto, o valor mínimo do polinômio é o valor do vértice da parábola, que é dado por: xv = -b/2a xv = -3/2 Substituindo xv em p(x), temos: p(-3/2) = (-3/2)² - 2(-3/2)³ + 5(-3/2) + 26 p(-3/2) = 49/4 Como o valor mínimo do polinômio é 49/4 e o coeficiente do termo de maior grau é positivo, concluímos que p(x) > 0 para todo número real x > -2.