Questão 4. Determine o ponto do paraboloide z = 9−x2−y2 que está mais próximo do ponto (5, 5, 9).

Para determinar o ponto do paraboloide z = 9 - x² - y² que está mais próximo do ponto (5, 5, 9), podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, definimos a função distância ao quadrado entre os pontos (x, y, z) e (5, 5, 9): f(x, y, z) = (x - 5)² + (y - 5)² + (z - 9)² Em seguida, definimos a restrição do paraboloide: g(x, y, z) = z - (9 - x² - y²) Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos: ∇f = λ∇g Onde ∇f e ∇g são os gradientes de f e g, respectivamente, e λ é o multiplicador de Lagrange. Calculando os gradientes, temos: ∇f = (2(x - 5), 2(y - 5), 2(z - 9)) ∇g = (-2x, -2y, 1) Igualando os gradientes e a restrição, temos o sistema de equações: 2(x - 5) = -2λx 2(y - 5) = -2λy 2(z - 9) = λ x² + y² + z = 9 Resolvendo o sistema, encontramos as soluções: (x, y, z) = (±3√2, ±3√2, 6) Para determinar qual desses pontos está mais próximo de (5, 5, 9), podemos calcular a distância entre cada um deles e o ponto dado: d(3√2, 3√2, 6) = √((3√2 - 5)² + (3√2 - 5)² + (6 - 9)²) ≈ 3,12 d(-3√2, -3√2, 6) = √((-3√2 - 5)² + (-3√2 - 5)² + (6 - 9)²) ≈ 16,97 d(3√2, -3√2, 6) = √((3√2 - 5)² + (-3√2 - 5)² + (6 - 9)²) ≈ 11,31 d(-3√2, 3√2, 6) = √((-3√2 - 5)² + (3√2 - 5)² + (6 - 9)²) ≈ 11,31 Portanto, o ponto mais próximo de (5, 5, 9) é (3√2, 3√2, 6).