5. Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x2+y2 = 25 e y2 + z2 = 20 no ponto (3, 4, 2).

Para encontrar a equação da reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x² + y² = 25 e y² + z² = 20 no ponto (3, 4, 2), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontre as equações das duas superfícies. 2. Encontre o ponto de intersecção das duas superfícies. 3. Encontre o vetor normal às duas superfícies no ponto de intersecção. 4. Use o vetor normal e o ponto de intersecção para encontrar a equação da reta tangente. 1. As equações dos cilindros são x² + y² = 25 e y² + z² = 20. 2. Para encontrar o ponto de intersecção, podemos substituir y² de uma equação na outra: x² + y² = 25 e y² + z² = 20, logo x² + z² = 5. Portanto, a curva de intersecção é a circunferência x² + z² = 5, y = 2. Substituindo y = 2 na primeira equação, temos x² + 4 = 25, logo x = ±3. Portanto, os pontos de intersecção são (3, 2, -√2) e (-3, 2, √2). 3. Para encontrar o vetor normal às duas superfícies no ponto de intersecção, podemos calcular o gradiente de cada superfície e, em seguida, calcular o produto vetorial dos gradientes. O gradiente de x² + y² = 25 é <2x, 2y, 0> e o gradiente de y² + z² = 20 é <0, 2y, 2z>. Substituindo os valores dos pontos de intersecção, temos: - No ponto (3, 2, -√2): <6, 4, 0> x <0, 4, -2√2> = <-8√2, 0, -24> - No ponto (-3, 2, √2): <-6, 4, 0> x <0, 4, 2√2> = <8√2, 0, -24> 4. Usando o vetor normal e o ponto de intersecção, podemos escrever a equação da reta tangente na forma vetorial: - No ponto (3, 2, -√2): <3, 2, -√2> + t<-8√2, 0, -24> - No ponto (-3, 2, √2): <-3, 2, √2> + t<8√2, 0, -24> Podemos simplificar a equação da reta tangente na forma simétrica: - No ponto (3, 2, -√2): x = 3 - 8√2t, y = 2, z = -√2 - 24t - No ponto (-3, 2, √2): x = -3 + 8√2t, y = 2, z = √2 - 24t Portanto, as equações da reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x² + y² = 25 e y² + z² = 20 no ponto (3, 4, 2) são x = 3 - 8√2t, y = 2, z = -√2 - 24t e x = -3 + 8√2t, y = 2, z = √2 - 24t.