C2 Lista de Monitoria 5 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Atividade de Monitoria 5
Equipe de Monitoria
1. Determine a derivada da função vetorial:
a) r(t) =
〈
t sin t, t2, t cos 2t
〉
b) r(t) =
〈
tg t, sec t, 1
t2
〉
c) r(t) =
1
1 + t
i +
t
1 + t
j +
t2
1 + t
k
d) r(t) = et2 i − j + ln(1 + 3t)k
e) r(t) = at cos 3ti + b sen3 tj + c cos3 tk
f) r(t) = i + tj + t2k
2. Para os seguintes itens, esboce o gráfico da curva com a equação vetorial dada, encontre
r′(t), esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r′(t) para o valor dado de t.
a) r(t) =
〈
t− 2, t2 + 1
〉
; t = −1
b) r(t) =
〈
t2, t3
〉
; t = 1
c) r(t) = sin ti + 2 cos tj; t = π/4
d) r(t) =
〈
sen t, t, 2 cos t
〉
; t = 0
e) r(t) =
〈
t, t, t2
〉
; t = 1
3. Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t)
a) r(t) =
〈
t, 3 cos t, 3 sen t
〉
b) r(t) =
〈
t2, sen t− cos t, cos t+ t sen t
〉
c) r(t) =
〈√
t, et, e−t
〉
d) r(t) =
〈
t, 1
2
t2, t2
〉
4. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações
paramétricas, no ponto especificado.
a) x = 1 + 2
√
t, y = t3 − t, z = t3 + t; (3, 0, 2)
b) x = et, y = tet, z = tet2 ; (1, 0, 0)
c) x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t; (1, 0, 1)
d) x =
√
t2 + 3, y = ln(t2 + 3), z = t; (2, ln (4), 1)
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II - 2022-4 Atividade de Monitoria 5
5. Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x2+y2 = 25
e y2 + z2 = 20 no ponto (3, 4, 2).
6. Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição
é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os
valores de t especificados.
a) r(t) =
〈
− 1
2
t2, t
〉
; t = 2
b) r(t) =
〈
2− t, 4
√
t
〉
; t = 1
c) r(t) = 3 cos ti + 2 sin tj; t = π/3
d) r(t) = ti + t2j + 2k; t = 1
7. Calcule a integral.
a)
∫
(ti − t3j + 3t5k)dt
b)
∫ (
4
1 + t2
j +
2t
1 + t2
k
)
dt
c)
∫
(eti + 2tj + ln tk)dt
d)
∫
(cos πti + sin πtj + tk)dt
8. Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, veloci-
dade e posição iniciais.
a) a(t) = i + 2j; v(0) = k; r(0) = i
b) a(t) = 2i + 6tj + 12t2k; v(0) = i; r(0) = j − k
9. Determine o comprimento da curva dada.
a) r(t) =
〈
t, cos t, 3 sen t
〉
, −5 ≤ t ≤ 5
b) r(t) =
〈
2t, t2, 1
3
t3
〉
, 0 ≤ t ≤ 1
c) r(t) =
√
2ti + etj + e−tk, 0 ≤ t ≤ 1
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Cálculo II - 2022-4 Atividade de Monitoria 5
d) r(t) = cos ti + sen tj + ln cos tk, 0 ≤ t ≤ π/4
Problema. Se |r(t)| ≠ 0, mostre que d
dt
|r(t)| = 1
|r(t)|
r(t).r′(t).
Problema. Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais
r1(t) =
〈
t, t2, t3
〉
e r2(t) =
〈
1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t
〉
.
As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?
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