8. Calcule as integrais: a) ∫ 4 1 ∫ 2 0 (6x2 − 2x)dydx. b) ∫ 2 0 ∫ π/2 0 x sen (y)dydx. c) ∫ 3 −3 ∫ π/2 0 (y + y2 cos (x))dydx.

a) Para calcular a integral dupla, primeiro integramos em relação a y e depois em relação a x. ∫ 4 1 ∫ 2 0 (6x2 − 2x)dydx = ∫ 4 1 [6x2y - xy]2 0 dx = ∫ 4 1 [12x2 - 2x]dx = [4x3 - x2]4 1 = (4(4)3 - 4(4)2) - (1(1)3 - 1(1)2) = 63. b) Novamente, integramos em relação a y primeiro e depois em relação a x. ∫ 2 0 ∫ π/2 0 x sen (y)dydx = ∫ 2 0 [-x cos(y)]π/2 0 dx = ∫ 2 0 [-x cos(0) + x cos(π/2)]dx = ∫ 2 0 [-x]dx = -[x2/2]2 0 = -2. c) Integrando em relação a y e depois em relação a x, temos: ∫ 3 −3 ∫ π/2 0 (y + y2 cos (x))dydx = ∫ 3 −3 [(y2/2) + (y3/3) cos(x)]π/2 0 dx = ∫ 3 −3 [(9/2) + (27/3) cos(x)]dx = [9x + 9sin(x)]3 −3 = (9(3) + 9sin(3)) - (9(-3) + 9sin(-3)) = 54 + 18sin(3).