C2 Lista de Monitoria 8 - 2022_4

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Cálculo II - 2022-4
Atividade de Monitoria 8
Equipe de Monitoria
1. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um
programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando
um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2.
b) f(x, y) = y3 + 3x2y − 6x2 − 6y2 + 2.
c) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3.
d) f(x, y) = y cosx
2. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x, D é a região triangular fechada com vértices (2, 0), (0, 2) e (0,−2)
b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = ((x, y)| |x| ≤ 1, |y| ≤ 1)
c) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2, D = ((x, y)| 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2)
3. Determine a menor distância entre o ponto (2, 0,−3) e o plano x+ y + z = 1
4. Determine os pontos do cone z2 = x2 + y2 que estão mais próximos do ponto (4, 2, 0).
5. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo o produto é máximo.
6. Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1.000 cm3 que tenha a área de sua
superfície mínima.
7. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as
dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado.
8. Calcule as integrais:
a)
∫ 4
1
∫ 2
0
(6x2 − 2x)dydx.
b)
∫ 2
0
∫ π/2
0
x sen (y)dydx.
1
Universidade Federal do Pará
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c)
∫ 3
−3
∫ π/2
0
(y + y2 cos (x))dydx.
9. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
a)
∫ 1
0
∫ 1
0
(4− x− 2y)dydx.
b)
∫ 1
0
∫ 1
0
(2− x2 − y2)dydx.
10. Desenhe o sólido contido entre as superfícieis z = e−x2 cos (x2 + y2) e z = 2 − x2 − y2
para |x| ≤ 1, |y| ≤ 1. Utilize um sistema de computação algébrica para aproximar o volume
desse sólido até a quarta casa decimal.
11. Calcule as integrais sobre o retângulo R em cada um dos casos a seguir.
a)
∫∫
R
(x2 + 4y2)dxdy e R = {(x, y) ∈ R2 ; 2 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 1}
b)
∫∫
R
(sen(x) cos(y))dxdy e R = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ π , −π ≤ y ≤ π}
c)
∫∫
R
(
x+ y2
x+ 1
)
dxdy e R = {(x, y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}
d)
∫∫
R
cos(x+ y)dxdy e R = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ π
2
,
π
2
≤ y ≤ π}
e)
∫∫
R
yexydxdy e R = {(x, y) ∈ R2 ; −1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3}.
2