15) (Mack-2007) Considere a matriz e uma matriz A = [2 -1] e uma matriz B = [bij]. Se A.B.A = A, então, é correto afirmar que, na matriz B, a) b21...

Para resolver essa questão, vamos utilizar a propriedade associativa da multiplicação de matrizes, que diz que (A.B).C = A.(B.C). Dado que A.B.A = A, podemos multiplicar ambos os lados da equação por A^-1, a matriz inversa de A. Assim, temos: A.B.A = A A^-1.A.B.A = A^-1.A B.A = I B = A^-1 Substituindo A por [2 -1], temos: A^-1 = 1/(2*(-1)-(-1)*(-1)) * [-1 1; -(-1) 2] = [-2 1; 1/2 -1/2] Portanto, a matriz B é igual a: B = [-2 1; 1/2 -1/2] Agora, podemos verificar qual das alternativas é verdadeira: a) b21 = 2b11 Substituindo os valores de B, temos: 1/2 = 2*(-2). Falso. b) b21 = -1 + 2b11 Substituindo os valores de B, temos: 1/2 = -1 + 2*(-2). Verdadeiro. c) b12 = 1+ 2b11 Substituindo os valores de B, temos: 1 = 1 + 2*(-2). Falso. d) b11 = 1+ 2b12 Substituindo os valores de B, temos: -2 = 1 + 2*(-1/2). Falso. e) b21 = b11 Substituindo os valores de B, temos: 1/2 = -2. Falso. Portanto, a alternativa correta é a letra b) b21 = -1 + 2b11.