9) (FGV-2004) Uma matriz X tem elementos cuja soma vale 1. Seja X^t a transposta da matriz X . Sabendo que [-1 1; 1 1].X^t = [1], podemos afirmar q...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade da transposta de uma matriz, que é trocar as linhas pelas colunas e vice-versa. Assim, temos que a matriz X é: X = [a b; c d] E a matriz transposta X^t é: X^t = [a c; b d] Multiplicando a matriz [-1 1; 1 1] por X^t, temos: [-1 1; 1 1] . [a c; b d] = [1] Ou seja, temos o seguinte sistema de equações: -a + c = 1 a + c = 0 -b + d = 1 b + d = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos que a = -c e b = -d. Como a soma dos elementos de X é 1, temos que: a + b + c + d = 1 -a - b + c + d = 0 Substituindo a e b por -c e -d, temos: -c - d + c + d = 1 c + d - c - d = 0 Portanto, a soma dos elementos de X é 1 e o produto dos elementos de X é: a * b * c * d = (-c) * (-d) * c * d = c^2 * d^2 Para encontrar o valor de c^2 * d^2, podemos utilizar o determinante da matriz X: |a b| |c d| = ad - bc Como a soma dos elementos de X é 1, temos que: a + b + c + d = 1 d = 1 - a - b - c Substituindo d na expressão do determinante, temos: ad - bc = a(1 - a - b - c) - bc = a - a^2 - ab - ac - bc Substituindo a por -c e b por -d, temos: (-c) - (-c)^2 - (-c)(-d) - c(-d) = -c^2 - cd Portanto, c^2 * d^2 = (-c^2 - cd)^2 = c^4 + 2c^3d + c^2d^2 Substituindo c^2d^2 por x, temos a seguinte equação: x = c^4 + 2c^3d + x c^4 + 2c^3d - x = 0 Podemos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara: c^3 = (-2d ± sqrt(4d^2 + 4x)) / 2 c^3 = -d ± sqrt(d^2 + x) Como c^3 é negativo, temos que: sqrt(d^2 + x) - d > 0 sqrt(d^2 + x) > d d^2 + x > d^2 x > 0 Portanto, o produto dos elementos de X é maior que zero. Como nenhuma das alternativas apresentadas é maior que zero, podemos concluir que a resposta correta é a letra A) 0.