Exercício 1.11. Considere a reta r do Exemplo 1.4. Escolha alguns pares de pontos P e Q em r, e veri�que a fórmula (1.14). Ache os valores de x e y...

Para resolver o exercício 1.11, primeiro precisamos lembrar da fórmula da equação geral da reta, que é dada por: ax + by + c = 0 No exemplo 1.4, temos a reta r definida como: r: 2x - 3y + 12 = 0 Para verificar a fórmula (1.14), que relaciona a distância entre dois pontos e a equação da reta que contém esses pontos, escolhemos dois pontos P e Q em r. Por exemplo, podemos escolher: P = (0, 4) Q = (6, 0) A distância entre esses pontos é dada por: d(P, Q) = sqrt((6 - 0)^2 + (0 - 4)^2) = sqrt(36 + 16) = sqrt(52) Agora, podemos usar a fórmula (1.14), que é: d(P, Q) = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2) Substituindo os valores de P e Q na fórmula da reta r, temos: 2x - 3y + 12 = 0 Substituindo os valores de a, b e c na fórmula (1.14), temos: sqrt(52) = |2x - 3y + 12| / sqrt(2^2 + (-3)^2) Simplificando, temos: sqrt(52) = |2x - 3y + 12| / sqrt(13) Multiplicando ambos os lados por sqrt(13), temos: sqrt(676) = |2x - 3y + 12| Simplificando, temos: 26 = |2x - 3y + 12| Agora, precisamos encontrar os valores de x e y para que os pontos R = (x, 100) e T = (6, y) pertençam a r. Substituindo os valores de R e T na equação da reta r, temos: 2x - 3(100) + 12 = 0 2(6) - 3y + 12 = 0 Simplificando, temos: 2x - 288 + 12 = 0 12 - 3y + 12 = 0 Resolvendo as equações, temos: 2x = 276 3y = 24 Logo, temos: x = 138 y = 8 Portanto, os valores de x e y para que os pontos R = (x, 100) e T = (6, y) pertençam a r são x = 138 e y = 8.