Exercício 2.23. Se f(x) = 2x/(x2+25), calcule Im(f). Para cada y 2 Im(f), determine se y possui uma única preimagem ou mais.

Para calcular Im(f), precisamos encontrar o conjunto imagem da função f(x). Para isso, podemos começar encontrando o domínio da função f(x), que é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso de f(x) = 2x/(x^2 + 25), a função está definida para todos os valores de x, exceto x = ±5i (onde i é a unidade imaginária). Isso ocorre porque o denominador x^2 + 25 se torna zero quando x = ±5i, o que torna a função indefinida nesses pontos. Agora, para encontrar a imagem de f(x), podemos observar que o numerador da função é sempre positivo ou negativo, dependendo do sinal de x. Já o denominador é sempre positivo, pois é a soma do quadrado de um número real com o quadrado de um número imaginário. Portanto, o sinal de f(x) é determinado pelo sinal de x. Isso significa que a imagem de f(x) é o conjunto de todos os números reais, exceto 0. Para ver isso, podemos observar que, quando x é positivo, f(x) é positivo e tende a zero quando x tende ao infinito. Quando x é negativo, f(x) é negativo e tende a zero quando x tende a menos infinito. Portanto, todo número real, exceto 0, pode ser obtido como imagem de algum valor de x. Para determinar se cada y em Im(f) possui uma única pré-imagem ou mais, podemos usar a fórmula da função f(x) e resolver a equação y = 2x/(x^2 + 25) para x. Isso nos dará uma ou duas soluções para cada y, dependendo do valor de y. Por exemplo, se y = 1, podemos resolver a equação y = 2x/(x^2 + 25) para x e obter: 1 = 2x/(x^2 + 25) x^2 + 25 = 2x x^2 - 2x + 25 = 0 Essa equação tem duas soluções reais, que podem ser encontradas usando a fórmula quadrática: x = (2 ± √(-96))/2 Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, concluímos que y = 1 possui zero pré-imagens reais. Podemos repetir esse processo para outros valores de y em Im(f) e descobrir que todos os valores diferentes de zero possuem duas pré-imagens reais, uma positiva e outra negativa. Já o valor zero não possui pré-imagens reais.