Exercício 4.1. Justi�que, usando a De�nição 4.1: 1. limx!�1 x2�1 x2 = 1. 2. limx!1 1 x3+sen2 x = 0

Para resolver esses exercícios, precisamos usar a definição de limite. 1. Para o primeiro exercício, podemos usar a definição de limite para mostrar que limx→-1 (x²-1)/(x²) = 1. Para isso, precisamos mostrar que, para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x - (-1)| < δ, então |(x²-1)/(x²) - 1| < ε. Podemos começar manipulando a expressão (x²-1)/(x²) para obter: |(x²-1)/(x²) - 1| = |(x²-1)/(x²)| = |(x-1)(x+1)/x²| Agora, podemos escolher δ = 1/2. Se 0 < |x - (-1)| < 1/2, então -3/2 < x < -1/2, o que implica em: -1 < x+1 < 0 -2 < x-1 < -1 1/2 < x² < 9/4 4/9 < 1/x² < 1/2 Usando essas desigualdades, podemos mostrar que: |(x-1)(x+1)/x² - 1| = |(x-1)(x+1)/x² - x²/x²| = |(x-1)(x+1-x²)/x²| = |(x-1)(-x²-x)/x²| = |-x-1| = |x+1| < ε Portanto, limx→-1 (x²-1)/(x²) = 1. 2. Para o segundo exercício, podemos usar a definição de limite para mostrar que limx→1 1/(x³+sen²x) = 0. Para isso, precisamos mostrar que, para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x - 1| < δ, então |1/(x³+sen²x) - 0| < ε. Podemos começar manipulando a expressão 1/(x³+sen²x) para obter: |1/(x³+sen²x) - 0| = 1/(x³+sen²x) Agora, podemos escolher δ = 1/2. Se 0 < |x - 1| < 1/2, então -1/2 < x - 1 < 1/2, o que implica em: 1/2 < x < 3/2 -1/2 < x - 1 < 1/2 -1/2 < sen x < 1/2 -1/4 < sen²x < 1/4 1/8 < 1/(x³+sen²x) < 1/2 Usando essas desigualdades, podemos mostrar que: |1/(x³+sen²x) - 0| = 1/(x³+sen²x) < ε Portanto, limx→1 1/(x³+sen²x) = 0.