Exercício 4.14. Determine se o limite x! 0 da função existe. Se for o caso, dê o seu valor. f(x) = 8<:x2 se x é racional diádico ; 0 caso contrário...

Para determinar se o limite x! 0 da função existe, é necessário analisar o limite à esquerda e à direita de 0. Para a função f(x), se x é racional diádico, então x pode ser escrito como x = 2^(-n), onde n é um número natural. Assim, temos que f(x) = 8<:x2 = 8<:(2^(-n))^2 = 8<:(2^(-2n)) = 8<:(1/4)^n. Como (1/4)^n tende a zero quando n tende ao infinito, temos que f(x) tende a zero quando x tende a zero, seja por valores racionais diádicos ou não. Portanto, o limite de f(x) quando x tende a zero é zero. Para a função g(x), temos que g(0) = -1. Para analisar o limite à esquerda de 0, podemos tomar uma sequência (xn) de números negativos que tendem a zero. Assim, temos que g(xn) = (1+xn)/(1+xn^2) tende a 1/2 quando xn tende a zero. Para analisar o limite à direita de 0, podemos tomar uma sequência (yn) de números positivos que tendem a zero. Assim, temos que g(yn) = sen(π/2 + yn) tende a 1 quando yn tende a zero. Como os limites laterais são diferentes, o limite de g(x) quando x tende a zero não existe. Portanto, o limite x! 0 da função f(x) existe e é igual a zero, enquanto o limite x! 0 da função g(x) não existe.