Exercício 6.58. Calcule as primitivas 1. R x3p 4x2+1 dx. 2. R x3 p x2 + 1 dx 3. R x p x2 + a2 dx 4. R dxp x2+2x+2 5. R dx (x2+1)3 6. R dx x2 p x2+4

1. Para calcular a primitiva de R x³√(4x²+1) dx, podemos fazer a substituição u = 4x²+1. Então, du/dx = 8x e dx = du/8x. Substituindo na integral, temos: R x³√(4x²+1) dx = (1/8) R u^(1/6) du = (1/8) * (6/7) * u^(7/6) + C = (3/28) (4x²+1)^(7/6) + C 2. Para calcular a primitiva de R x³√(x²+1) dx, podemos fazer a substituição u = x²+1. Então, du/dx = 2x e dx = du/2x. Substituindo na integral, temos: R x³√(x²+1) dx = (1/2) R u^(1/6) du = (1/2) * (6/7) * u^(7/6) + C = (3/7) (x²+1)^(7/6) + C 3. Para calcular a primitiva de R x √(x²+a²) dx, podemos fazer a substituição u = x²+a². Então, du/dx = 2x e dx = du/2x. Substituindo na integral, temos: R x √(x²+a²) dx = (1/2) R √u du = (1/2) * (2/3) * u^(3/2) + C = (1/3) (x²+a²)^(3/2) + C 4. Para calcular a primitiva de R √(x²+2x+2) dx, podemos fazer a substituição u = x²+2x+2. Então, du/dx = 2x+2 e dx = du/(2x+2). Substituindo na integral, temos: R √(x²+2x+2) dx = R √u * du/(2x+2) = (1/2) R u^(1/2) du/u = (1/2) R u^(-1/2) du = u^(1/2) + C = (x²+2x+2)^(1/2) + C 5. Para calcular a primitiva de R (x²+1)³ dx, podemos usar a fórmula de integração por partes, com u = (x²+1)² e dv = dx. Então, du/dx = 4x(x²+1) e v = x. Substituindo na fórmula, temos: R (x²+1)³ dx = x(x²+1)² - R 2x²(x²+1)² dx = x(x²+1)² - 2 R (x²+1)² dx + 2 R x²(x²+1) dx = x(x²+1)² - 2/5 (x²+1)⁵ + 2/3 (x²+1)³ + C 6. Para calcular a primitiva de R x² √(x²+4) dx, podemos fazer a substituição u = x²+4. Então, du/dx = 2x e dx = du/2x. Substituindo na integral, temos: R x² √(x²+4) dx = (1/2) R u^(1/2) du = (1/2) * (2/3) * u^(3/2) + C = (1/3) (x²+4)^(3/2) + C