Exercício 6.11. Fixe � > 0. Considere f�(x):=� �2e��(�2 � x2). Esboce x 7! f�(x) para diferentes valores de � (em particular para � pequeno e grand...

Para esboçar o gráfico de f(x), podemos começar analisando o comportamento da função para diferentes valores de λ. Quando λ é pequeno, a função f(x) é mais "achatada" e se aproxima do eixo x mais rapidamente. Quando λ é grande, a função f(x) é mais "pontuda" e demora mais para se aproximar do eixo x. Para λ = 0, temos f(x) = 0 para todo x. Para λ > 0, a função f(x) é sempre positiva e atinge seu valor máximo em x = 0, onde f(0) = λ. Para determinar o valor de λ que maximiza a área delimitada pelo gráfico de f(x) e pelo eixo x, podemos usar o cálculo integral. A área é dada por: A = ∫-∞∞ f(x) dx Podemos simplificar a expressão de f(x) usando a substituição u = λ(x/√λ), que nos dá: f(x) = λ√λ e^(-u^2) Substituindo na expressão da área, temos: A = λ√λ ∫-∞∞ e^(-u^2) du Essa integral não pode ser resolvida analiticamente, mas podemos usar métodos numéricos para obter uma aproximação do valor de A. Podemos também notar que a função e^(-u^2) é simétrica em relação a u = 0, o que nos permite reescrever a integral como: A = 2λ√λ ∫0∞ e^(-u^2) du Essa nova expressão pode ser resolvida usando a técnica de integração por substituição, com u = t^2 e du = 2t dt. Temos: A = 2λ√λ ∫0∞ e^(-t^2) 2t dt A = λ√π Portanto, o valor de λ que maximiza a área delimitada pelo gráfico de f(x) e pelo eixo x é λ = 1/√π.