ante negativo, procuremos uma decomposição da forma 1 x3 + 1 = A x+ 1 + Bx+ C x2 � x+ 1: É fácil ver que A, B e C satisfazem às três condições A + ...

ante negativo, procuremos uma decomposição da forma 1 x3 + 1 = A x+ 1 + Bx+ C x2 � x+ 1: É fácil ver que A, B e C satisfazem às três condições A + B = 0, �A + B + C = 0, A + C = 1. Logo, A = 1 3 , B = � 1 3 , C = 2 3 . EscrevendoZ dx x3 + 1 = 1 3 Z dx x+ 1 � 1 3 Z x� 2 x2 � x+ 1 dx = 1 3 ln jx+ 1j � 1 3 Z x� 2 x2 � x+ 1 dx Agora, Z x� 2 x2 � x+ 1 dx = 1 2 Z 2x� 1 x2 � x+ 1 dx� 3 2 Z dx x2 � x+ 1 = 1 2 ln jx2 � x+ 1j � 3 2 Z dx x2 � x+ 1 = 1 2 ln jx2 � x+ 1j � 4p 3 arctan � 2p 3 (x� 1 2 ) � + C : Juntando, Z dx x3 + 1 = 1 3 ln jx+ 1j � 1 6 ln jx2 � x+ 1j+ 4 3 p 3 arctan � 2p 3 (x� 1 2 ) � + C :