O modelo predador-presa de Lotka-Volterra tem as seguintes equa¸c˜oes diferenciais n˜aolineares: dx dt = −ax + bxy = x(−a + by) dy dt = dy − cxy = ...

Para encontrar os pontos de equilíbrio do sistema, precisamos igualar as equações a zero e resolver para x e y: dx/dt = 0 → -ax + bxy = 0 → x(−a + by) = 0 dy/dt = 0 → dy - cxy = 0 → y(d − cx) = 0 Portanto, temos dois pontos de equilíbrio: (0,0) e (d/c, a/b). Para determinar a estabilidade dos pontos de equilíbrio, precisamos calcular as derivadas parciais das equações em relação a x e y e avaliar o sinal das expressões em cada ponto de equilíbrio. Para o ponto (0,0), temos: f(x,y) = (-ax + bxy, dy - cxy) ∂f/∂x = (-a + by, -cy) ∂f/∂y = (bx, d - cx) Avaliando as derivadas parciais em (0,0), temos: ∂f/∂x(0,0) = (-a, 0) ∂f/∂y(0,0) = (0, d) Como ∂f/∂x(0,0) e ∂f/∂y(0,0) têm sinais opostos, o ponto (0,0) é um ponto de sela. Para o ponto (d/c, a/b), temos: f(x,y) = (-ax + bxy, dy - cxy) ∂f/∂x = (-a + by, -cy) ∂f/∂y = (bx, d - cx) Avaliando as derivadas parciais em (d/c, a/b), temos: ∂f/∂x(d/c, a/b) = (0, -ac/c) = (0, -a) ∂f/∂y(d/c, a/b) = (b, 0) Como ∂f/∂x(d/c, a/b) e ∂f/∂y(d/c, a/b) têm sinais opostos, o ponto (d/c, a/b) é um ponto de sela. Portanto, ambos os pontos de equilíbrio são pontos de sela.