Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender a relação entre a área do triângulo equilátero e o círculo tangente a um dos seus lados. A área \( A \) de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula: \[ A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] onde \( a \) é o comprimento do lado do triângulo. Sabemos que a área do triângulo OAB é \( 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \). Portanto, podemos igualar: \[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \] Multiplicando ambos os lados por 4: \[ a^2 \sqrt{3} = 36\sqrt{3} \] Dividindo ambos os lados por \( \sqrt{3} \): \[ a^2 = 36 \] Portanto, \( a = 6 \, \text{cm} \). Agora, para encontrar a área do círculo tangente ao lado AB, precisamos calcular o raio do círculo. O raio \( r \) de um círculo inscrito em um triângulo equilátero é dado por: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Substituindo \( a = 6 \): \[ r = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \, \text{cm} \] A área \( A_c \) do círculo é dada por: \[ A_c = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \, \text{cm}^2 \] No entanto, a questão pede a área do círculo de centro O e tangente ao lado AB do triângulo, que é o círculo circunscrito. A área do círculo circunscrito é dada por: \[ A_c = \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 12\pi \] Parece que houve um erro na interpretação. Vamos verificar as opções novamente. A área do círculo que é tangente ao lado AB e que tem o centro no vértice O é: \[ A_c = \pi \left( \frac{6}{\sqrt{3}} \right)^2 = 12\pi \] Porém, a área do círculo que é tangente ao lado AB e que tem o centro O é: \[ A_c = 9\pi \] Portanto, a área correta do círculo tangente ao lado AB é: \[ A_c = 27\pi \] Assim, a alternativa correta é: a) 27 π.