Resolva os três itens abaixo. a) Calcule cos 3 /8 e sen 3 /8 . b) Dado o número complexo 2 √2 2 √2, encontre o menor inteiro 0 para o qual seja rea...

a) Para calcular cos 3/8 e sen 3/8, podemos usar a fórmula de adição de ângulos para o cosseno e o seno. Temos: cos (3/8) = cos (1/4 + 1/8) = cos (1/4) cos (1/8) - sen (1/4) sen (1/8) sen (3/8) = sen (1/4 + 1/8) = sen (1/4) cos (1/8) + cos (1/4) sen (1/8) Usando as identidades trigonométricas, podemos encontrar os valores de cos (1/4) e sen (1/4): cos (1/4) = √2/2 sen (1/4) = √2/2 Substituindo esses valores na fórmula de adição de ângulos, temos: cos (3/8) = (√2 + 1)/2√2 sen (3/8) = (√2 - 1)/2√2 b) Para que o número complexo 2√2 + 2√2 seja real, a parte imaginária deve ser igual a zero. Isso ocorre quando a soma dos coeficientes das partes imaginárias é igual a zero. Temos: 2√2 + 2√2i = 0 + 0i Igualando as partes imaginárias, temos: 2√2i = 0i Portanto, o menor inteiro que satisfaz a condição é 0. c) Para encontrar um polinômio de coeficientes inteiros que possua √2 + 1 como raiz e que não possua raiz real, podemos usar o fato de que os coeficientes do polinômio são inteiros. Sabemos que, se √2 + 1 é raiz do polinômio, então √2 - 1 também é raiz, pois as raízes de um polinômio com coeficientes reais sempre ocorrem em pares conjugados complexos. Assim, podemos escrever o polinômio na forma: p(x) = (x - (√2 + 1))(x - (√2 - 1)) Expandindo essa expressão, temos: p(x) = x^2 - 2x√2 + 2 Portanto, o polinômio de coeficientes inteiros que possui √2 + 1 como raiz e não possui raiz real é p(x) = x^2 - 2x√2 + 2.