(ENADE– Grupo II Engenharia – 2005) Em aplicações de engenharia, os modelos lineares são largamente utilizados para representar sistemas dinâmicos....

Para encontrar a resposta em regime permanente do sistema, é necessário encontrar a solução homogênea e a solução particular da equação diferencial. A solução homogênea é dada por: y_h(t) = c1e^(-t) + c2e^(-2t) Para encontrar a solução particular, podemos utilizar o método dos coeficientes a determinar. Suponha que a solução particular seja da forma: y_p(t) = A cos(2t) + B sen(2t) Substituindo na equação diferencial, temos: -4A sen(2t) - 4B cos(2t) + 6A cos(2t) + 6B sen(2t) + 2A cos(2t) + 2B sen(2t) = cos(2t) + 1 Igualando as partes real e imaginária, obtemos o sistema: 4A + 6B + 2A = 1 -4B + 6A + 2B = 0 Resolvendo o sistema, encontramos A = 1/2 e B = -1/2√2. Portanto, a solução particular é: y_p(t) = (1/2)cos(2t) - (1/2√2)sen(2t) A solução geral é dada por: y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c1e^(-t) + c2e^(-2t) + (1/2)cos(2t) - (1/2√2)sen(2t) Para encontrar a resposta em regime permanente, basta verificar o comportamento da solução no infinito. Como as exponenciais tendem a zero e as funções trigonométricas têm período finito, a resposta em regime permanente é dada por: y_rp(t) = (1/2)cos(2t) - (1/2√2)sen(2t) Portanto, a alternativa correta é a letra (C): (1/2)+(1/2√2)cos(2t-π/4).