Mostre que a função f(x) = { x+ 1 se x ≤ 1 −x2 + 3 se x > 1 é contínua no ponto x = 1. Esboce o gráfico de f.

Para mostrar que a função f(x) é contínua no ponto x = 1, precisamos verificar se o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando x se aproxima de 1 pela direita, e se ambos são iguais ao valor da função em x = 1. Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, temos: lim x → 1- f(x) = lim x → 1- (x + 1) = 2 Quando x se aproxima de 1 pela direita, temos: lim x → 1+ f(x) = lim x → 1+ (-x² + 3) = 2 Como ambos os limites laterais são iguais a 2, e f(1) = 2, podemos concluir que a função é contínua no ponto x = 1. Para esboçar o gráfico de f, podemos observar que a função é definida em duas partes: para x ≤ 1, f(x) = x + 1, e para x > 1, f(x) = -x² + 3. Podemos traçar o gráfico de cada parte separadamente e depois juntá-los. Para x ≤ 1, a função é uma reta com inclinação positiva, passando pelo ponto (0,1) e com intercepto no eixo y em 1. Para x > 1, a função é uma parábola com concavidade para baixo, passando pelo ponto (1,2) e cortando o eixo y em 2. Ao juntar as duas partes, obtemos um gráfico que começa em (0,1), sobe em uma reta até (1,2) e depois desce em uma parábola até o infinito negativo.