2) As equações x^2 + y^2 + z^2 - u - v = 0, x^2 - y^2 + z^2 - u + v = 0, x^2 + y^2 + z^2 = 1 numa vizinhança de (x,y,z,u,v) = (1,1,-1,1,1) definem ...

a) Para determinar a matriz da diferencial da função definida implicitamente (x, y) → (u, v) (1,1) x → (u, v) y → (u, v) z → (u, v), podemos utilizar o Teorema da Função Implícita. Derivando a primeira equação em relação a u e v, temos: 2x(dx/du) + 2y(dy/du) - du/dx - dv/dx = 0 2x(dx/dv) + 2y(dy/dv) - du/dv - dv/dv = 0 Derivando a segunda equação em relação a u e v, temos: 2x(dx/du) - 2y(dy/du) - du/dx + dv/dx = 0 2x(dx/dv) - 2y(dy/dv) - du/dv + dv/dv = 0 Derivando a terceira equação em relação a u e v, temos: 2x(dx/du) + 2y(dy/du) + 2z(dz/du) - du/dx - dv/dx = 0 2x(dx/dv) + 2y(dy/dv) + 2z(dz/dv) - du/dv - dv/dv = 0 Substituindo os valores de (x,y,z,u,v) = (1,1,-1,1,1), temos: 2(dx/du) + 2(dy/du) - 1 - 1 = 0 2(dx/dv) + 2(dy/dv) - 1 + 1 = 0 2(dx/du) - 2(dy/du) - 1 + 1 = 0 2(dx/dv) - 2(dy/dv) - 1 - 1 = 0 2(dx/du) + 2(dy/du) - 2(dz/du) - 1 - 1 = 0 2(dx/dv) + 2(dy/dv) + 2(dz/dv) - 1 + 1 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: dx/du = dy/du = 1/2 dx/dv = -dy/dv = 1/2 dz/du = dz/dv = 1 Portanto, a matriz da diferencial da função é: [1/2 1/2 0] [1/2 -1/2 0] [0 0 1] b) A função f define parametricamente uma superfície no espaço (x,y,z). Para determinar o plano tangente a ela no ponto (1,1,-1), podemos utilizar a equação do plano tangente: f(x,y,z) = f(1,1,-1) + grad(f)(1,1,-1) * (x-1, y-1, z+1) Onde grad(f) é o vetor gradiente de f. Como a equação da superfície é x^2 + y^2 + z^2 = 1, temos: f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 Calculando o gradiente de f, temos: grad(f) = (2x, 2y, 2z) = (2, 2, -2) Substituindo os valores de (x,y,z) = (1,1,-1), temos: f(1,1,-1) = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 - 1 = 1 Substituindo na equação do plano tangente, temos: f(x,y,z) = 1 + (2, 2, -2) * (x-1, y-1, z+1) Simplificando, temos: f(x,y,z) = 2x + 2y - 2z - 1 Portanto, o plano tangente à superfície no ponto (1,1,-1) é dado pela equação: 2(x-1) + 2(y-1) - 2(z+1) = 0 ou 2x + 2y - 2z - 4 = 0