Resolva a equação trigonométrica: sen3x + senx / (1 − cosx) = 0 A) x = π/4 + π????/2, (???? ∈ ????) ou x = π/2 + ????π, (???? ∈ ????) B) x = π/4 + π????/2, (???? ...

Vamos começar resolvendo a equação trigonométrica dada: sen3x + senx / (1 − cosx) = 0 Podemos simplificar a expressão dividindo ambos os lados por senx: sen3x / senx + 1 / (1 − cosx) = 0 Usando a identidade trigonométrica sen3x = 3senx − 4sen³x, podemos substituir sen3x / senx por 3 − 4sen²x: 3 − 4sen²x + 1 / (1 − cosx) = 0 Multiplicando ambos os lados por (1 − cosx), temos: (3 − 4sen²x)(1 − cosx) + 1 = 0 Expandindo a expressão, temos: 3 − 3cosx − 4sen²x + 4sen²xcosx + 1 = 0 Simplificando: 4sen²xcosx − 3cosx + 4 = 0 Podemos substituir sen²x por 1 − cos²x usando a identidade trigonométrica fundamental: 4(1 − cos²x)cosx − 3cosx + 4 = 0 4cosx − 4cos³x − 3cosx + 4 = 0 Agrupando os termos: 4 − 4cos²x − 3cosx = 0 Substituindo cos²x por 1 − sen²x usando a identidade trigonométrica fundamental: 4 − 4(1 − sen²x) − 3cosx = 0 Simplificando: 4sen²x − 3cosx = 0 Podemos substituir sen²x por 1 − cos²x usando a identidade trigonométrica fundamental: 4(1 − cos²x) − 3cosx = 0 4 − 4cos²x − 3cosx = 0 Resolvendo a equação do segundo grau resultante, temos: cosx = (−3 ± √25) / (2 · −4) cosx = (−3 ± 5) / −8 cosx = 1/4 ou cosx = −4/8 = −1/2 Se cosx = 1/4, então senx = ±√15/4 = ±(√15)/2 Se cosx = −1/2, então senx = ±√3/2 Agora, podemos substituir os valores de senx e cosx nas alternativas e verificar quais delas satisfazem a equação trigonométrica original. A) x = π/4 + πk/2, (k ∈ ℤ) ou x = π/2 + kπ, (k ∈ ℤ) Substituindo x = π/4 + πk/2, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(3π/4 + 3kπ/2) + sen(π/4 + kπ/2) / (1 − cos(π/4 + kπ/2)) = (−√2/2 + (−1)^k √2/2) + (√2/2 + (−1)^k √2/2) / (1 − √2/2 + (−1)^k √2/2) = −√2/2 + (−1)^k √2/2 + √2/2 + (−1)^k √2/2 / (2 − √2 + (−1)^k √2) = √2(−1)^k / (2 − (−1)^k) Para que a expressão seja igual a zero, precisamos que (−1)^k = 1, ou seja, k é par. Nesse caso, temos: x = π/4, π/2, 5π/4, 2π, 9π/4, 3π/2, ... Substituindo x = π/2 + kπ, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(3π/2 + 3kπ/2) + sen(π/2 + kπ) / (1 − cos(π/2 + kπ)) = (−1)^k + (−1)^k / (2 − (−1)^k) = 0 Para qualquer valor inteiro de k, a expressão é igual a zero. Portanto, a alternativa A está correta. B) x = π/4 + πk/2, (k ∈ ℤ) ou x = π + 2kπ, (k ∈ ℤ) Substituindo x = π/4 + πk/2, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(3π/4 + 3kπ/2) + sen(π/4 + kπ/2) / (1 − cos(π/4 + kπ/2)) = (−√2/2 + (−1)^k √2/2) + (√2/2 + (−1)^k √2/2) / (1 − √2/2 + (−1)^k √2/2) = −√2/2 + (−1)^k √2/2 + √2/2 + (−1)^k √2/2 / (2 − √2 + (−1)^k √2) = √2(−1)^k / (2 − (−1)^k) Para que a expressão seja igual a zero, precisamos que (−1)^k = 0, ou seja, k é ímpar. Nesse caso, a expressão não é igual a zero. Substituindo x = π + 2kπ, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(3π + 6kπ) + sen(π + 2kπ) / (1 − cos(π + 2kπ)) = −sen(2kπ) + sen(π + 2kπ) / (−1 − cos(2kπ)) = −sen(2kπ) + sen(π + 2kπ) / 0 A expressão não está definida quando o denominador é igual a zero, ou seja, quando cos(2kπ) = −1. Isso ocorre quando k é ímpar. Portanto, a alternativa B está incorreta. C) x = π/2 + πk, (k ∈ ℤ) ou x = π + 2kπ, (k ∈ ℤ) Substituindo x = π/2 + kπ, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(3π/2 + 3kπ/2) + sen(π/2 + kπ) / (1 − cos(π/2 + kπ)) = (−1)^k + (−1)^k / (2 − (−1)^k) = 0 Para qualquer valor inteiro de k, a expressão é igual a zero. Substituindo x = π + 2kπ, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(3π + 6kπ) + sen(π + 2kπ) / (1 − cos(π + 2kπ)) = −sen(2kπ) + sen(π + 2kπ) / (−1 − cos(2kπ)) = −sen(2kπ) + sen(π + 2kπ) / 0 A expressão não está definida quando o denominador é igual a zero, ou seja, quando cos(2kπ) = −1. Isso ocorre quando k é ímpar. Portanto, a alternativa C está correta. D) x = π/4 + πk/2, (k ∈ ℤ) Substituindo x = π/4 + πk/2, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(3π/4 + 3kπ/2) + sen(π/4 + kπ/2) / (1 − cos(π/4 + kπ/2)) = (−√2/2 + (−1)^k √2/2) + (√2/2 + (−1)^k √2/2) / (1 − √2/2 + (−1)^k √2/2) = −√2/2 + (−1)^k √2/2 + √2/2 + (−1)^k √2/2 / (2 − √2 + (−1)^k √2) = √2(−1)^k / (2 − (−1)^k) Para que a expressão seja igual a zero, precisamos que (−1)^k = 0, ou seja, k é ímpar. Nesse caso, a expressão não é igual a zero. Portanto, a alternativa D está incorreta. E) x = −π/4 + πk, (k ∈ ℤ) Substituindo x = −π/4 + kπ, temos: sen3x + senx / (1 − cosx) = sen(−3π/4 + 3kπ/2) + sen(−π/4 + kπ/2) / (1 − cos(−π/4 + kπ/2)) = (√2/2 + (−1)^k √2/2) + (−√2/2 + (−1)^k √2/2) / (1 + √2/2 + (−1)^k √2/2) = √2(−1)^k / (1 + √2 + (−1)^k √2) Para que a expressão seja igual a zero, precisamos que (−1)^k = 1, ou seja, k é par. Nesse caso, temos: x = −π/4, 7π/4, −9π/4, 15π/4, ... Portanto, a alternativa E está incorreta. Portanto, a alternativa correta é a A) x = π/4 + πk/2, (k ∈ ℤ) ou x = π/2 + kπ, (k ∈ ℤ).