2.87: O balão na Fig. E-2.87 é preenchido com hélio e pressurizado a 135 kPa e 20 oC. O material do balão possui uma massa de 85 g/m2. Calcule: (a)...

(a) Para calcular a tensão na corda, é necessário considerar a força peso do balão e a força de empuxo do hélio. A tensão na corda é igual à soma dessas duas forças. A força peso pode ser calculada multiplicando a massa do balão pelo valor da aceleração da gravidade (9,81 m/s²). Já a força de empuxo é igual ao peso do ar deslocado pelo balão, que pode ser calculado usando a densidade do ar (1,2 kg/m³) e o volume do balão. Assim, a tensão na corda é dada por: Tensão na corda = Peso do balão + Força de empuxo Tensão na corda = (massa do balão x aceleração da gravidade) + (densidade do ar x volume do balão x aceleração da gravidade) Tensão na corda = (0,085 kg/m² x 9,81 m/s²) + (1,2 kg/m³ x 4/3 x π x (0,5 m)³ x 9,81 m/s²) Tensão na corda = 0,834 N/m² + 73,8 N/m² Tensão na corda = 74,6 N/m² (b) Para calcular a altura na atmosfera padrão até a qual o balão subiria caso a corda seja cortada, é necessário considerar a pressão atmosférica e a densidade do ar em diferentes altitudes. A altura pode ser calculada usando a equação de estado dos gases ideais, que relaciona a pressão, a densidade e a temperatura do ar. Assim, a altura é dada por: Altura = (RT/gM) x ln(P1/P2) Onde: R = constante dos gases ideais (287 J/kg.K) T = temperatura absoluta (293 K) g = aceleração da gravidade (9,81 m/s²) M = massa molar do ar (28,97 g/mol) P1 = pressão inicial (135 kPa) P2 = pressão final (pressão atmosférica ao nível do mar, aproximadamente 101,3 kPa) Substituindo os valores na equação, temos: Altura = (287 J/kg.K x 293 K/9,81 m/s² x 1/0,02897 kg/mol) x ln(135 kPa/101,3 kPa) Altura = 8,31 x ln(1,33) Altura = 8,31 x 0,285 Altura = 2,37 km Portanto, se a corda for cortada, o balão subiria aproximadamente 2,37 km na atmosfera padrão.