Calcule ∫C (z − y)dx+ ln(1 + y2)dy + [ln(1 + z2) + y]dz sendo C dada por γ(t) = (4 cos t, 4 sen t, 4− 4 cos t), com 0 ≤ t ≤ 2π.

Para calcular a integral de linha ∫C (z − y)dx+ ln(1 + y^2)dy + [ln(1 + z^2) + y]dz, onde C é a curva dada por γ(t) = (4 cos t, 4 sen t, 4− 4 cos t), com 0 ≤ t ≤ 2π, podemos seguir os seguintes passos: 1. Calcular as derivadas parciais das funções em relação a x, y e z: ∂/∂x (z - y) = 0 ∂/∂y (z - y) = -1 ∂/∂z (z - y) = 1 ∂/∂y ln(1 + y^2) = 2y / (1 + y^2) ∂/∂z [ln(1 + z^2) + y] = 1 / (1 + z^2) 2. Substituir as funções e a curva na fórmula da integral de linha: ∫C (z − y)dx+ ln(1 + y^2)dy + [ln(1 + z^2) + y]dz = ∫[0,2π] [(4− 4 cos t) - 4 sen t] * 0 + ln(1 + (4 sen t)^2) * 4 cos t + [ln(1 + (4− 4 cos t)^2) + 4 sen t] * 4 sen t dt 3. Integrar cada termo em relação a t: ∫[0,2π] [(4− 4 cos t) - 4 sen t] * 0 dt = 0 ∫[0,2π] ln(1 + (4 sen t)^2) * 4 cos t dt = 16∫[0,2π] ln(1 + (2 sen t)^2) cos t dt ∫[0,2π] [ln(1 + (4− 4 cos t)^2) + 4 sen t] * 4 sen t dt = 16∫[0,2π] ln(1 + (2− 2 cos t)^2) sen t dt + 64∫[0,2π] sen^2 t dt 4. Simplificar a integral de ∫[0,2π] sen^2 t dt usando a identidade trigonométrica sen^2 t = (1 - cos(2t))/2: ∫[0,2π] sen^2 t dt = ∫[0,2π] (1 - cos(2t))/2 dt = π 5. Substituir a integral simplificada e integrar ∫[0,2π] ln(1 + (2 sen t)^2) cos t dt por partes, usando u = ln(1 + (2 sen t)^2) e dv = cos t dt: ∫[0,2π] ln(1 + (2 sen t)^2) cos t dt = [ln(1 + (2 sen t)^2) * sen t] [0,2π] - ∫[0,2π] 4 sen^3 t / (1 + (2 sen t)^2) dt A segunda integral pode ser resolvida usando a substituição trigonométrica u = 2 sen t, du = 2 cos t dt: ∫[0,2π] 4 sen^3 t / (1 + (2 sen t)^2) dt = 2∫[0,0] 1 / (1 + u^2) du = π 6. Substituir as integrais simplificadas na fórmula da integral de linha e somar os resultados: ∫C (z − y)dx+ ln(1 + y^2)dy + [ln(1 + z^2) + y]dz = 0 + 16π - 16π + 64π = 64π Portanto, o valor da integral de linha ∫C (z − y)dx+ ln(1 + y^2)dy + [ln(1 + z^2) + y]dz é 64π.