Considerando que o método dedutivo está focado na demonstração de implicações e equivalências lógicas, demonstre a equivalência lógica p → q p ˅ q ...

Considerando que o método dedutivo está focado na demonstração de implicações e equivalências lógicas, demonstre a equivalência lógica p → q p ˅ q → q pelo método dedutivo e assinale a alternativa com o procedimento CORRETO:

Nunca será possível demonstrar a equivalência lógica p → q p ˅ q → q pelo método dedutivo porque tal método somente é utilizado para a demonstração de implicações lógicas.

A bicondicional correspondente à equivalência por demonstrar é:

p → q ↔ p ˅ q → q

Utilizando a transformação da condicional, tem-se:

~p ˅ q ↔ ~(p ˅ q) ˅ q

Pela regra de Morgan:

~p ˅ q ↔ (~p ˄ ~q) ˅ q

Pela Lei da distributividade:

~p ˅ q ↔ (q ˅ ~p) ˄ (q ˅ ~q)

Como q ˅ ~q é sempre V:

~p ˅ q ↔ (q ˅ ~p) ˄ V

Pela regra da identidade simplifica-se:

~p ˅ q ↔ q ˅ ~p

Que são idênticas – pela Lei da comutatividade –, então essa bicondicional é uma tautologia, sendo possível demonstrar a equivalência lógica inicial.

A bicondicional correspondente à equivalência por demonstrar é:

p → q ↔ p ˅ q → q

Utilizando a transformação da condicional, tem-se:

~p ˅ q ↔ ~(p ˅ q) ˅ q

Pela regra de Morgan:

~p ˅ q ↔ (~p ˄ ~q) ˅ q

Pela Lei da distributividade:

~p ˅ q ↔ (q ˅ ~p) ˄ (q ˅ ~q)

Como q ˅ ~q é sempre V:

~p ˅ q ↔ (q ˅ ~p) ˄ V

Pela regra da identidade simplifica-se:

~p ˅ q ↔ q ˅ ~p

Que não são idênticas, de modo que essa bicondicional não é uma tautologia, não sendo possível demonstrar a equivalência lógica inicial.

A bicondicional correspondente à equivalência por demonstrar é:

p → q ↔ p ˅ q → q

Utilizando a transformação da condicional, tem-se:

p ˅ q ↔ (p ˅ q) ˅ q

Pela regra associativa:

~p ˅ q ↔ p ˅ q

Que não são idênticas, de modo que essa bicondicional não é uma tautologia, não sendo possível demonstrar a equivalência lógica inicial.

A condicional correspondente à equivalência por demonstrar é:

p → q → p ˅ q → q

Utilizando a transformação da condicional, tem-se:

~p ˅ q → ~(p ˅ q) ˅ q

Pela regra de Morgan:

~p ˅ q → (~p ˄ ~q) ˅ q

Pela Lei da distributividade:

~p ˅ q → (q ˅ ~p) ˄ (q ˅ ~q)

Como q ˅ ~q é sempre V:

~p ˅ q → (q ˅ ~p) ˄ V

Pela regra da identidade, simplifica-se:

~p ˅ q → q ˅ ~p

Que são idênticas – comutatividade –, então essa condicional é uma tautologia, sendo possível demonstrar a equivalência lógica inicial