Pergunta 50,2 pts Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico 333333-fbb58d9a-7341-4da8-8e78-070b47bf7ffc.png e acima do r...

Para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico e acima do retângulo R = [-1,1] x [-2,2], podemos utilizar a integração dupla. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração. Como o retângulo R é definido por [-1,1] x [-2,2], temos: -1 ≤ x ≤ 1 -2 ≤ y ≤ 2 Para encontrar os limites de integração em z, precisamos encontrar as equações do paraboloide elíptico e do plano que define o sólido. A equação do paraboloide elíptico é: z = 9 - x^2 - 4y^2 A equação do plano que define o sólido é: z = 1 Igualando as duas equações, temos: 9 - x^2 - 4y^2 = 1 Simplificando, temos: x^2 + 4y^2 = 8 Portanto, o sólido é definido pela região do plano z = 1 que está abaixo do paraboloide elíptico z = 9 - x^2 - 4y^2 e acima do retângulo R = [-1,1] x [-2,2]. Agora podemos calcular o volume do sólido utilizando a integração dupla: V = ∬R (9 - x^2 - 4y^2 - 1) dA V = ∬R (8 - x^2 - 4y^2) dA Integrando em y primeiro, temos: V = ∫-1^1 ∫-2^2 (8 - x^2 - 4y^2) dy dx V = ∫-1^1 [8y - x^2y - (4/3)y^3] |-2^2 dx V = ∫-1^1 [32/3 - 8x^2] dx V = [32x/3 - (8/3)x^3] |-1^1 V = 64/3 Portanto, o volume do sólido é 64/3 unidades cúbicas.