Pergunta 50,2 pts Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico 333333-fbb58d9a-7341-4da8-8e78-070b47bf7ffc.png e acima do r...

Para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico e acima do retângulo R = [-1,1] x [-2,2], podemos utilizar a integração dupla. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração. Como o retângulo R é definido por x variando de -1 a 1 e y variando de -2 a 2, temos: -1 ≤ x ≤ 1 -2 ≤ y ≤ 2 Em relação ao paraboloide elíptico, temos a equação: z = 9 - x^2 - 4y^2 Para encontrar os limites de integração em z, igualamos a equação do paraboloide a zero e resolvemos para z: 0 = 9 - x^2 - 4y^2 x^2 + 4y^2 = 9 z = 9 - x^2 - 4y^2 = 0 Portanto, o sólido está limitado inferiormente pelo retângulo R e superiormente pelo paraboloide elíptico z = 9 - x^2 - 4y^2. Agora, podemos calcular o volume do sólido utilizando a integração dupla: V = ∬R (9 - x^2 - 4y^2) dA Onde dA é o elemento de área do retângulo R, que pode ser escrito como dA = dxdy. Assim, temos: V = ∫-2^2 ∫-1^1 (9 - x^2 - 4y^2) dxdy Integrando em relação a x, temos: V = ∫-2^2 [(9x - x^3/3) |_x=-1^1 - 4y^2x |_x=-1^1] dy V = ∫-2^2 [(18/3 - 2/3) - 4y^2(0)] dy V = ∫-2^2 (16/3)y^2 dy V = (16/3) [(2^3/3) - (-2^3/3)] V = (16/3) (16/3) V = 256/9 Portanto, o volume do sólido é 256/9 unidades cúbicas. A alternativa correta é a letra C).