Prefácio Os primeiros resultados geométricos são bem antigos e são de origem experimental. Foram observados pelo homem em sua atividade práti...

Prefácio

Os primeiros resultados geométricos são bem antigos e são de origem experimental. Foram observados pelo homem em sua atividade prática. Como ciência emṕırica a Geometria alcançou em seu peŕıodo inicial um ńıvel singu-larmente elevado no Egito. Durante o primeiro milênio anterior a nossa era as noções de geometria passaram dos eǵıpcios aos gregos, e na Grécia antiga iniciou-se uma nova etapa de descobrimento desta ciência. No peŕıodo com-preendido entre os séculos VII e III antes da nossa era, os geômetras gregos enriqueceram a geometria com numerosos resultados novos.

Euclides (300 A.C.) reuniu e sistematizou a geometria Grega em sua famosa obra ”Elementos”, que foi a primeira exposição fundamentada da Geometria. O livro é composto por 13 livros dos quais 8 foram dedicados a Geometria e os outros a Aritmética. O primeiro livro é de definições, postulados e axiomas. Por exemplo:

Postulado I : é posśıvel traçar uma reta de um ponto a outro.
Axioma I : Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
Axioma II: Se a duas coisas iguais se somam coisas iguais, se obtém somas iguais.
Tanto os postulados quanto os axiomas constituem afirmações admiti-das sem demonstração. Hoje em dia chamamos todas essas afirmações de axiomas. Dos axiomas seguem os teoremas e os problemas.
Esta construção de geometria sugeriu aos geômetras o desejo natural de reduzir ao mı́nimo o número de postulados e axiomas. O próprio Euclides e muitos geômetras tentaram reduzir. Muitos deles começaram pelo 5◦ pos-tulado. Mas em todas estas demonstrações os geômetras utilizavam alguma afirmação equivalente ao 5◦ postulado e não dos outros postulados e axiomas. Algumas dessas afirmações são:
1) Todas as perpendiculares a um lado do ângulo agudo cortam seu outro lado.
2) Existem triângulos de áreas tão grandes quanto se queira.
3) As retas paralelas são equidistantes.
As tentativas erradas de demonstração colocaram dúvidas, no fim do século XVIII, da possibilidade de se provar o 5◦ postulado.
A solução desta questão está nas obras do grande geômetra russo Nicolai Lobachevsky (1792-1856).

Uma das equivalências do 5◦ postulado é que dado uma reta r e um ponto P /∈ r, pode-se passar uma e somente uma reta s passando por P e paralela a r.
Lobachevsky substituiu o 5◦ postulado pelo seguinte:
Por um ponto exterior a uma reta pertencente a um plano passam duas retas que não a cortam.
Assim como os geômetras anteriores, Lobachevsky tinha esperança de descobrir uma contradição na afirmação que se despreende do novo postulado.
Não chegou a contradição alguma e concluiu que existe, uma Geometria dis-tinta da Euclidiana onde não tem lugar o 5◦ Postulado de Euclides. Esta Geometria hoje, chama-se Geometria de Lobachevsky ou hiperbólica.
Os geômetras que se seguiram a Lobachevsky demonstraram que não tem contradição a Geometria de Euclides tão pouco tem a Geometria de Lobachevsky.
São válidos resultados nas duas teorias como igualdade de triângulo, relação entre lados e ângulo dos triângulos, etc.
Os teoremas que usam o axioma das paralelas de Lobachevsky tem enunciados bem diferentes.
Na Geometria Euclidiana temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180◦. Na Geometria de Lobachevsky temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que 180◦.
Na Geometria Euclidiana existe um número infinito de tria