Prove usando um dos princ´ıpios de Indu¸c˜ao Matem´atica: a) 1 1 · 3 + 1 3 · 5 + 1 5 · 7 + . . . + 1 (2n − 1) · (2n + 1) = n 2n + 1 para todo n ∈ N.

Para provar que a equação é verdadeira para todo n ∈ N, podemos usar o princípio da indução matemática. Base da indução: Para n = 1, temos: 1 · 3 = 1(2 · 1 + 1) 3 = 3 Ou seja, a equação é verdadeira para n = 1. Hipótese da indução: Suponha que a equação seja verdadeira para um número natural k qualquer, ou seja: 1 · 3 + 1 · 5 + 1 · 7 + ... + 1 · (2k - 1) · (2k + 1) = k(2k + 1) Passo da indução: Vamos provar que a equação também é verdadeira para k + 1. Temos: 1 · 3 + 1 · 5 + 1 · 7 + ... + 1 · (2k - 1) · (2k + 1) + 1 · (2(k+1) - 1) · (2(k+1) + 1) = k(2k + 1) + (2k + 1)(2k + 3) = (2k + 1)(k + 2k + 3) = (k + 1)(2(k + 1) + 1) Portanto, a equação é verdadeira para todo n ∈ N, por indução matemática.