Determine m para que as raízes da equação (m+3)x^{2}-mx+2 = 0 sejam, res- pectivamente, o 1º e o 3º termos de uma P.A. cujo 2º termo \phi-\frac{2}{3}

Para que as raízes da equação sejam o 1º e o 3º termos de uma P.A., a diferença entre elas deve ser igual ao dobro do segundo termo. Assim, temos: x3 - x1 = 2 * (ϕ - 2/3) Substituindo as raízes da equação, temos: (1) x1 + x2 = - (m+3)/ (m+3) = -1 (2) x1 * x2 = 2 / (m+3) Como as raízes são o 1º e o 3º termos de uma P.A., temos: x2 = (x1 + x3) / 2 Substituindo as raízes da equação, temos: (3) x2 = (ϕ - 2/3) / 2 Substituindo (1), (2) e (3) em x3 - x1 = 2 * (ϕ - 2/3), temos: [(ϕ - 2/3) / 2 - x1] - [x1] = 2 * (ϕ - 2/3) Simplificando, temos: ϕ - 2/3 - 2x1 = 4ϕ/3 - 8/9 Isolando x1, temos: x1 = (ϕ + 2/9) / (2 + ϕ) Substituindo x1 em (2), temos: x2 = (ϕ - 2/3) / [2 * (m+3) * (ϕ + 2/9)] Substituindo x1 e x2 em (1), temos: - [(m+3) / (2 + ϕ)] + [(ϕ + 2/9) / (2 + ϕ)] = -1 Simplificando, temos: m = 3ϕ² + 2ϕ - 6 Portanto, a resposta é m = 3ϕ² + 2ϕ - 6.