Uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma pessoa retira 3 bolas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que a soma dos números na...

Para calcular a probabilidade de que a soma dos números nas bolas sorteadas seja um múltiplo de 3, precisamos primeiro determinar quantos conjuntos de três bolas têm uma soma que é um múltiplo de 3. Existem duas maneiras de abordar esse problema: usando combinações ou usando diagramas de árvore. Usando combinações: - Há 20 escolhas para a primeira bola, 19 escolhas para a segunda bola e 18 escolhas para a terceira bola. - Portanto, há 20 x 19 x 18 = 6840 maneiras de escolher 3 bolas diferentes. - Agora, precisamos determinar quantos desses conjuntos de 3 bolas têm uma soma que é um múltiplo de 3. - Existem 6 bolas numeradas que são múltiplas de 3: 3, 6, 9, 12, 15 e 18. - Se escolhermos 3 bolas que são múltiplas de 3, a soma será um múltiplo de 3. - Há 6 escolhas para a primeira bola, 5 escolhas para a segunda bola e 4 escolhas para a terceira bola. - Portanto, há 6 x 5 x 4 = 120 maneiras de escolher 3 bolas que são múltiplas de 3. - Agora, precisamos determinar quantos conjuntos de 3 bolas têm uma soma que não é um múltiplo de 3. - Existem 14 bolas numeradas que não são múltiplas de 3: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19 e 20. - Se escolhermos 3 bolas que não são múltiplas de 3, a soma não será um múltiplo de 3. - Há 14 escolhas para a primeira bola, 13 escolhas para a segunda bola e 12 escolhas para a terceira bola. - Portanto, há 14 x 13 x 12 = 2184 maneiras de escolher 3 bolas que não são múltiplas de 3. - Assim, a probabilidade de que a soma dos números nas bolas sorteadas seja um múltiplo de 3 é de 120 / 6840 = 1 / 57. Usando diagramas de árvore: - Começamos com a primeira bola, que pode ser qualquer uma das 20 bolas. - Em seguida, desenhamos três ramos, cada um representando uma escolha diferente para a segunda bola. - Em cada um desses ramos, desenhamos mais três ramos, cada um representando uma escolha diferente para a terceira bola. - No final, teremos desenhado 20 x 19 x 18 = 6840 ramos. - Agora, precisamos contar quantos desses ramos levam a uma soma que é um múltiplo de 3. - Se a primeira bola escolhida for um múltiplo de 3, então as outras duas bolas precisam ser escolhidas de um conjunto de 5 bolas que são múltiplas de 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18). - Há 5 escolhas para a segunda bola e 4 escolhas para a terceira bola, o que dá um total de 5 x 4 = 20 ramos que levam a uma soma que é um múltiplo de 3. - Se a primeira bola escolhida não for um múltiplo de 3, então as outras duas bolas precisam ser escolhidas de um conjunto de 7 bolas que não são múltiplas de 3 (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19 e 20). - Há 7 escolhas para a segunda bola e 6 escolhas para a terceira bola, o que dá um total de 7 x 6 = 42 ramos que levam a uma soma que é um múltiplo de 3. - Assim, a probabilidade de que a soma dos números nas bolas sorteadas seja um múltiplo de 3 é de (20 + 20 + 42) / 6840 = 1 / 57.