Determine a integral $\int_{C}(xdx+ydy+zdz)$ com C definida pela equação paramétrica $\gamma (t) = (2t^2,t^3,t)$ com $O \leq t \leq1$. Considere a ...

vetor tangente. Para resolver essa integral, podemos utilizar a definição de integral de linha. Primeiramente, vamos calcular o vetor tangente de $\gamma(t)$: $\gamma'(t) = (4t, 3t^2, 1)$ Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor $(x, y, z)$ e o vetor tangente: $(x, y, z) \cdot \gamma'(t) = (2t^2, t^3, t) \cdot (4t, 3t^2, 1) = 8t^3 + 3t^5 + t$ Assim, a integral de linha pode ser escrita como: $\int_C (xdx + ydy + zdz) = \int_0^1 (8t^3 + 3t^5 + t) dt = \frac{1}{2} + \frac{3}{6} + \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$ Portanto, a resposta é $\frac{5}{3}$.