as integrais duplas são usadas para calcular áreas e volumes de formas irregulares e duas ou três dimensões. Determine o volume do prisma y =x2, y ...

Para determinar o volume do prisma descrito pelas equações y = x², y = 2x e z = x³ + 4y, podemos utilizar uma integral dupla. Primeiramente, é necessário encontrar os limites de integração para x e y. Pela equação y = x², temos que y varia de 0 a 4, já que quando x = 2, y = 4. Pela equação y = 2x, temos que y varia de 0 a 4, já que quando x = 2, y = 4. Portanto, os limites de integração para y são de 0 a 4. Pela equação z = x³ + 4y, temos que z varia de x³ + 4x até 8x² + 4x. Portanto, os limites de integração para x são de 0 a 2. Assim, podemos escrever a integral dupla para o cálculo do volume do prisma como: V = ∬R (x³ + 4y) dA Onde R é a região delimitada pelas curvas y = x² e y = 2x. Integrando em relação a y e depois em relação a x, temos: V = ∫ de 0 até 2 ∫ de 0 até 4 (x³ + 4y) dy dx V = ∫ de 0 até 2 [(x³y + 2y²) de 0 até 4] dx V = ∫ de 0 até 2 (32x³ + 32) dx V = 32∫ de 0 até 2 (x³ + 1) dx V = 32 [(x⁴/4 + x) de 0 até 2] V = 32 [(16/4 + 2) - (0/4 + 0)] V = 32 (6) V = 192 Portanto, o volume do prisma é de 192 unidades cúbicas.