as integrais duplas são usadas para calcular áreas e volumes de formas irregulares em duas ou três dimensões. Determine o volume do prisma delimita...

Para determinar o volume do prisma delimitado pelas superfícies y=x², y=2x e z=x³+4y, podemos utilizar uma integral dupla. Primeiramente, precisamos encontrar os limites de integração para x e y. Pela equação y=2x, temos que x=y/2. Pela equação y=x², temos que x=√y. Portanto, os limites de integração para x são √y ≤ x ≤ y/2. Pela equação z=x³+4y, podemos escrever z como uma função de x e y. Substituindo x por √y, temos z=y(√y)³+4y=y(2y√y)=2y^(5/2). Portanto, os limites de integração para y são 0 ≤ y ≤ 4. Assim, podemos escrever a integral dupla para o cálculo do volume V como: V = ∬R x³+4y dA Onde R é a região delimitada pelas curvas y=x² e y=2x. Substituindo x por √y, temos: V = ∫0⁴ ∫√y^( ) y/2 (x³+4y) dxdy V = ∫0⁴ ∫√y y/2 (x³+4y) dxdy V = ∫0⁴ [(y/2) ∫√y y x³/3 dx + 4y ∫√y y/2 dx] V = ∫0⁴ [(y/2) (y³/3 - y^(3/2)/3) + 2y^(5/2)/5] dy V = ∫0⁴ [(y⁴/6 - y^(7/2)/6) + 2y^(5/2)/5] dy V = 128/15 u.v. Portanto, o volume do prisma delimitado pelas superfícies y=x², y=2x e z=x³+4y é 128/15 unidades de valor (u.v.).