A 1 Considere uma PA crescente de três termos, em que a soma de seus termos é igual a 30. Assim, mantendo o segundo termo desta sequência e, adici...

Vamos lá! Primeiro, precisamos encontrar os termos da PA. Sabemos que a soma dos três termos é igual a 30, então podemos escrever: a + (a + r) + (a + 2r) = 30 Simplificando a expressão, temos: 3a + 3r = 30 a + r = 10 Agora, mantendo o segundo termo da PA e adicionando 2 unidades ao primeiro termo e 3 unidades ao terceiro termo, temos uma PG. Ou seja: (a + 2) * (a + r) * (a + 2r + 3) = (a + r)² * (a + 2r) Simplificando a expressão, temos: (a + 2r + 3) = (a + r)² a + 2r + 3 = a² + 2ar + r² 2r = a² + 2ar + r² - a - r - 3 2r = (a - r)² + r² - a - 3 Agora, podemos substituir a expressão que encontramos para a - r (a + r = 10) na equação acima: 2r = (10 - 2r)² + r² - 10 - 3 2r = 100 - 40r + 5r² + r² - 13 6r² - 42r + 87 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: r = (42 ± √(42² - 4*6*87)) / (2*6) r = (42 ± √(180)) / 12 r = (42 ± 6√5) / 12 r = (7 ± √5) / 2 Como a PA é crescente, o valor de r deve ser positivo. Portanto, temos: r = (7 + √5) / 2 Agora, podemos encontrar os termos da PA: a + r = 10 a + (7 + √5) / 2 = 10 a = 10 - (7 + √5) / 2 a = (13 - √5) / 2 a + 2r = (13 - √5) / 2 + 2 * (7 + √5) / 2 a + 2r = (13 - √5 + 14 + 2√5) / 2 a + 2r = (27 + √5) / 2 Agora, podemos encontrar os termos da PG: a' = a + 2 = (13 - √5) / 2 + 2 = (17 - √5) / 2 r' = (a + 2r + 3) / (a + r) = ((27 + √5) / 2 + 3) / ((13 - √5) / 2 + 7 + √5) = (29 + 3√5) / (17 + √5) Por fim, a soma do 1° termo da PA com o 3° termo da PG é: a + a' * r'² = (13 - √5) / 2 + (17 - √5) / 2 * ((29 + 3√5) / (17 + √5))² a + a' * r'² = (13 - √5) / 2 + (17 - √5) / 2 * (29 + 3√5)² / (17 + √5)² a + a' * r'² = (13 - √5) / 2 + (17 - √5) / 2 * (868 + 174√5) / 222 a + a' * r'² = (13 - √5) / 2 + (17 - √5) * (434 + 87√5) / 222 a + a' * r'² = (13 - √5) / 2 + (7391 - 151√5) / 222 a + a' * r'² = (3703 - 76√5) / 222 Portanto, a alternativa correta é: D) (3703 - 76√5) / 222