Com uma folha retangular de metal, de comprimento 6m e largura 70cm, deseja-se construir uma calha que será utilizada na reforma do telhado de uma ...

Para determinar a dimensão da dobra que maximiza a capacidade da calha, podemos utilizar o cálculo de derivadas. 1. Primeiro, vamos determinar a equação que representa o volume da calha em função da dimensão da dobra. Seja x a dimensão da dobra, em metros. A altura da calha será dada por h = x, e a largura da base será dada por b = 70 - 2x (pois a dobra será feita em ambas as laterais). O comprimento da base será dado por c = 6. Assim, o volume da calha será dado por: V(x) = c * b * h V(x) = 6 * (70 - 2x) * x V(x) = 420x - 12x^2 2. Agora, vamos calcular a derivada da função V(x) em relação a x: V'(x) = 420 - 24x 3. Para encontrar o valor de x que maximiza o volume da calha, igualamos a derivada a zero e resolvemos para x: 420 - 24x = 0 24x = 420 x = 17,5 4. Para confirmar que esse valor de x corresponde a um máximo, podemos calcular a segunda derivada de V(x) em relação a x: V''(x) = -24 Como V''(17,5) é negativo, temos que x = 17,5 corresponde a um máximo de V(x). 5. Portanto, a dimensão da dobra que maximiza a capacidade da calha é de 17,5 cm. Para calcular o volume máximo, basta substituir esse valor na equação de V(x): V(17,5) = 420 * 17,5 - 12 * 17,5^2 V(17,5) = 3675 m^3 Portanto, o volume máximo da calha é de 3675 m^3.