A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções ao longo do intervalo de interesse. Determine a á...

Para determinar a área delimitada entre as curvas y = cossec²x, y = 2 + cotg²x, e 1 ≤ x ≤ 2, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas funções. Começamos igualando as duas funções: cossec²x = 2 + cotg²x 1/sen²x = 2 + cos²x/sen²x 1/sen²x - cos²x/sen²x = 2 1 - cos²x = 2sen²x sen²x = 1/2 senx = ± √(1/2) senx = ± 1/√2 x = π/4 ou x = 5π/4 Agora podemos integrar a diferença entre as duas funções ao longo do intervalo de interesse: ∫(cossec²x - (2 + cotg²x))dx, de 1 a 2 = ∫(1/sen²x - (2 + cos²x/sen²x))dx, de 1 a 2 = ∫(csc²x - (2sin²x + cos²x)/sin²x)dx, de 1 a 2 = ∫((1 - cos²x)/sin²x - (2sin²x + cos²x)/sin²x)dx, de 1 a 2 = ∫(1/sin²x - 3)dx, de 1 a 2 = (-cotgx - 3x) de 1 a 2 = (-cotg2 + 2cotg1 - 3(2-1)) = -cotg2 + 2cotg1 - 3 Portanto, a área delimitada entre as curvas y = cossec²x e y = 2 + cotg²x, e 1 ≤ x ≤ 2 é de aproximadamente -cotg2 + 2cotg1 - 3.