A integral ∫ 1/0 x/(x2+4x+3) dx vale (a) 32 ln 2− 3/2 ln 3− 1/2 ln 4 (b) −34 ln 2− 5/2 ln 3− 1/2 ln 2 (c) 32 ln 4− 3/2 ln 3− 1/2 ln 2 (d) 52 ln 4−...

Vamos resolver a integral dada: ∫ 1/0 x/(x^2+4x+3) dx Primeiro, fatoramos o denominador: x^2+4x+3 = (x+3)(x+1) Agora, usamos a técnica de decomposição em frações parciais: x/(x^2+4x+3) = A/(x+1) + B/(x+3) Multiplicando ambos os lados por x^2+4x+3, obtemos: x = A(x+3) + B(x+1) Agora, podemos resolver para A e B. Ao resolver, obtemos A = 1 e B = -1. Assim, a integral se torna: ∫ 1/0 (1/(x+1) - 1/(x+3)) dx Integrando, obtemos: ln|x+1| - ln|x+3| + C Agora, avaliando de 1 a 0, obtemos: ln|1+1| - ln|1+3| - (ln|0+1| - ln|0+3|) = ln(2) - ln(4) - (ln(1) - ln(3)) = ln(2) - ln(4) - (-ln(3)) = ln(2) - ln(4) + ln(3) = ln(3/2) Portanto, a resposta correta é (e) nenhuma das outras alternativas.