Mostre que x e y são conjuntos nao vazios e existe uma objeçao de X em Y então X é finito se, e somente se, Y é finito.

Para mostrar que X e Y são conjuntos não vazios e que existe uma injeção de X em Y, então X é finito se, e somente se, Y é finito, podemos utilizar a definição de conjuntos finitos. Se X é finito, então existe uma bijeção entre X e um conjunto finito {1, 2, ..., n}. Como existe uma injeção de X em Y, podemos considerar que Y tem pelo menos n elementos, pois cada elemento de X é mapeado para um elemento diferente em Y. Portanto, Y também é finito. Por outro lado, se Y é finito, então existe uma bijeção entre Y e um conjunto finito {1, 2, ..., m}. Como existe uma injeção de X em Y, podemos considerar que X tem no máximo m elementos, pois cada elemento de X é mapeado para um elemento diferente em Y. Portanto, X também é finito. Assim, podemos concluir que X e Y são conjuntos não vazios e que existe uma injeção de X em Y, então X é finito se, e somente se, Y é finito.