Exercício 1. (2,5 pts) Seja f: [-1,1]→[-1,1] ua função contínua. Prove que existe a ∈ [-1,1] tal que f(a) a. Neste caso dizemos que a é ponto fixo ...

Para provar que existe um ponto fixo a ∈ [-1,1] para a função contínua f: [-1,1] → [-1,1], podemos utilizar o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Esse teorema afirma que toda função contínua f de uma bola fechada em si mesma tem pelo menos um ponto fixo. Assim, como [-1,1] é uma bola fechada em si mesma, podemos aplicar o teorema e concluir que existe um ponto fixo a ∈ [-1,1] tal que f(a) = a. Para dar um exemplo de uma função contínua f: [-1,1) → [-1,1) sem ponto fixo, podemos considerar a função f(x) = x/2. Note que f é contínua em [-1,1) e que não possui ponto fixo nesse intervalo, pois se f(a) = a, teríamos a = a/2, o que é impossível para qualquer a ≠ 0. Portanto, f não possui ponto fixo em [-1,1).