Determine os valores de a e b para os quais a função f(x) = ax^3 + bx^2 + 3 tem um ponto de inflexão em x = -2. Resposta: a = 1/6 e b = 1. Explica...

Para determinar os valores de a e b para os quais a função f(x) = ax^3 + bx^2 + 3 tem um ponto de inflexão em x = -2, precisamos calcular a segunda derivada da função e verificar a mudança de sinal nesse ponto. A segunda derivada da função f(x) é f''(x) = 6ax + 2b. Para encontrar o ponto de inflexão, precisamos verificar a mudança de sinal de f''(x) em x = -2. Substituindo x = -2 na segunda derivada, temos: f''(-2) = 6a(-2) + 2b f''(-2) = -12a + 2b Para que haja um ponto de inflexão em x = -2, a segunda derivada deve mudar de sinal. Isso significa que f''(-2) deve ser igual a zero. -12a + 2b = 0 2b = 12a b = 6a Agora, podemos substituir b = 6a na função original f(x) = ax^3 + bx^2 + 3: f(x) = ax^3 + 6ax^2 + 3 Para encontrar o valor de a, podemos usar a informação de que a função tem um ponto de inflexão em x = -2. Podemos calcular a segunda derivada e verificar a mudança de sinal em x = -2 para encontrar o valor de a. Portanto, a resposta fornecida (a = 1/6 e b = 1) está incorreta. O valor de b deve ser 6 vezes o valor de a, e a resposta correta para a e b depende da verificação da mudança de sinal da segunda derivada em x = -2.