3.5 Ferramentas de Análise As ferramentas computacionais de análise compreendem a contrução de diagramas do lugar das raízes e a integração numéric...

3.5 Ferramentas de Análise As ferramentas computacionais de análise compreendem a contrução de diagramas do lugar das raízes e a integração numérica das equações de movimento, juntamente com a elaboração de mapas de cor para a verificação da imposição de vínculos (quando a MMM é utilizada). Comparações com modelos de tubos inextensíveis ou extensíveis baseados na hipótese apresentada em Ghayesh, Païdoussis e Amabili (2013) são estabelecidas a partir da definição de duas famílias de modelos: a família N, originada através da discretização das equações diferenciais parciais do problema pela técnica de Galerkin, e a família M, na qual se faz uso da MMM e variáveis redundantes. Família N - Modelo NI inextensível: um MOR é derivado a partir da forma fraca relacionada às Eqs. (2.103) a (2.105) formuladas em Semler, Li e Païdoussis (1994). Considera-se a discretização da Equação (3.39); 10 Este arfício é utilizado pois hk(0) = h′ k(0) = h′′ k(1) = 0. Na MMM, a equação de vínculo não deve ser do tipo 0 = 0 em nenhum ponto escolhido. Assim, evita-se sua imposição em nós das funções de projeção. 3.5. Ferramentas de Análise 107 Família N - Modelo NE-G extensível com a hipótese de Ghayesh, Païdoussis e Amabili (2013): a velocidade do escoamento interno U = [(1 + ε)/(1 + bε)]U0 é adotada e o modelo analisado é baseado nas Equações aproximadas de (2.115) encontradas em Ghayesh, Païdoussis e Amabili (2013). Tem-se ε̂ = û′ + (1/2)ŵ′2; Família M - Modelo MI inextensível: a inextensibilidade pode ser contabilizada em A2 através de ε = ε̂ = 0 com as equações de vínculo adicionais a nível de coordenadas generalizadas h′ k(ξj)ε̂k = 0 (3.103) para j = 1, 2, . . . , V . Família M - Modelo ME-G extensível com a hipótese de Ghayesh, Paï- doussis e Amabili (2013): substitui-se a expressão da variável redundante dada pela Equação (3.32) - que corresponde à variação da velocidade interna ao longo do comprimento - por Û = [(1 + ε̂)/(1 + bε̂)]vβ−1/2 e, consequentemente, a Equação (3.91) por Û(ξ, τ) ∼= vβ−1/2 + hk(ξ)Ûk(τ). Portanto, troca-se as Equações (3.101) de vínculo a nível de velocidades generalizadas pelas equações a nível de coordenadas generalizadas vβ−1/2 + hk(ξj)Ûk − [ (1 + h′ k(ξj)ε̂k) (1 + bh′ k(ξj)ε̂k)vβ −1/2 ] = 0 (3.104) para j = 1, 2, . . . , V . Considera-se a deformação axial como ε̂ = û′ + (1/2)ŵ′2 + (1/2)û′2. Tabela 6 – Descrição dos modelos da família N. Nome Caso Equações de movimento Deformação axial Modelo NI Inextensível Semler, Li e Païdoussis (1994) ε̂ = 0 Modelo NE Extensível Subseção 3.4.1 ε̂ = û′ + 1 2ŵ ′2 + 1 2 û ′2 Modelo NE-G Extensível Ghayesh, Païdoussis e Amabili (2013) ε̂ = û′ + 1 2ŵ ′2 Uma explanação mais compacta dos diversos modelos se encontra nas Tabelas 6 e 7. É importante ressaltar que o coeficiente de Poisson ν = 0 (b = 1) leva a uma velocidade do escoamento interno constante ao longo do comprimento do tubo, Û = vβ−1/2, nos modelos NE-G e ME-G; em contraposição com os modelos NE e ME, nos quais quando ν = 0, 5 (b = 0), tem-se ˙̂ U = vβ−1/2 de forma similar11. 11 U0 é correspondente a Ue para o cálculo do adimensional v nos modelos derivados da formulação de Ghayesh, Païdoussis e Amabili (2013). Vide seção 2.2. 108 Capítulo 3. Modelagem Matemática e Metodologia Tabela 7 – Descrição dos modelos da família M. Nome Caso Velocidade interna Deformação axial Modelo MI Inextensível ˙̂ U = vβ−1/2 ε̂ = 0 Modelo ME Extensível ˙̂ U = vβ−1/2 − � ξ 0 [b(1 + ε̂)/1 + bε̂] ˙̂ε dξ ε̂ = û′ + 1 2ŵ ′2 + 1 2 û ′2 Modelo ME-G Extensível Û = [(1 + ε̂)/(1 + bε̂)]vβ−1/2 ε̂ = û′ + 1 2ŵ ′2 + 1 2 û ′2 3.5.1 Diagrama do Lugar das Raízes Uma linearização das equações de movimento discretas de primeira ordem em torno da posição de equilíbrio estático é feita, dando origem a root loci em que os autovalo- res dependem de algum parâmetro do problema. Tais diagramas têm sua estabilidade investigada através do primeiro método de Lyapunov. No caso da família de modelos M, não se consegue uma forma genérica para o operador S2. Isto ocorre devido às dificuldades presentes para se expressar o núcleo de A2 por meio de operações simbólicas. Assim, uma generalização para a obtenção da configuração de equilíbrio estático - baseada na técnica dos multiplicadores de Lagrange - é apresentada a seguir. As equações de movimento podem ser obtidas através de M(t,q, q̇) A2(t,q, q̇)  q̈ = f(t,q, q̇) − A⊤ 2 (t,q, q̇)L b2(t,q, q̇)  (3.105) onde as entradas da matriz coluna L representam os multiplicadores e A2(t,q, q̇) = b2(t,q, q̇) = 0 para os modelos NE, NI e NE-G. No contexto de equilíbrio estático, tem-se q̇ = q̈ = 0 f(t,q) − A⊤ 2 (t,q)L b2(t,q)  = 0 0  (3.106) Para um determinado conjunto de adimensionais, resolve-se o sistema não-linear ao se considerar ûk = ûe k e ŵk = ŵe k como os pontos que levam a essa configuração. A função FindRoot do Wolfram Mathematica ® é empregada - com uma estimativa inicial de ûe k = ŵe k = 0 - para a construção de funções interpoladoras de ûe k e ŵe k que variam com v12. Essas funções são, então, plotadas para oito seções transversais do tubo, calculadas nos pontos ξj, com ξ = 0 sendo o engaste (no qual o deslocamento estático sempre é nulo) e ξ = 1 a extremidade livre. 12 No caso dos modelos NI e MI, trabalha-se somente com as funções ŵe k com estimativa inicial ŵe k = 0. Ao se manter os parâmetros γ, α, β, ν e v fixos, linearizações numéricas de M, f, A2 e b2 em torno das correspondentes coordenadas estáticas são feitas nos modelos pertinentes. Acha-se S2 como complemento ortogonal de A2. Trabalha-se com o sistema