Dadas as bases E={e⃗ 1,e⃗ 2,e⃗ 3} e F={f⃗ 1,f⃗ 2,f⃗ 3} em R3 , e as relações f⃗ 1=e⃗ 1−2e⃗ 2−3e⃗ 3,f⃗ 2=e⃗ 1 2e⃗ 2 e⃗ 3,f⃗ 3=5e⃗ 1 e⃗ 2−4e⃗ 3, ...

Para encontrar as coordenadas do vetor \( \vec{v} = (1,1,1)_F \) na base \( E = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \} \), você pode usar a matriz de mudança de base. Dada a relação entre as bases \( E \) e \( F \), você pode montar a matriz de mudança de base \( P \) com as coordenadas dos vetores de \( F \) na base \( E \). Em seguida, para encontrar as coordenadas de \( \vec{v} \) na base \( E \), você multiplica a inversa de \( P \) pelo vetor \( \vec{v} \) em \( F \).