10. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Exemplos 1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0, 1, 2 ...10. 2. Em u...

10. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Exemplos
1. Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0, 1, 2 ...10.

2. Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes compram um determinado produto. O número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.

3. Conta-se o nº de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O número de acidentes em questão pode ser: 0, 1, 2… Como não temos um valor que limite esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não negativo.

4. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo.

10.1. Introdução
Vamos incorporar o conceito de probabilidade ao estudo de variáveis associadas a características em uma população. Muitos experimentos produzem resultados não-numéricos. Antes de analisá-los, é conveniente transformar seus resultados em números. Isto é feito através da variável aleatória que é uma função que associa um valor numérico a cada ponto do espaço amostral.
Para entender melhor o conceito, considere o seguinte exemplo.
Exemplo: Observa-se o sexo das crianças em famílias com três filhos. O espaço amostral é  = {(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}
Uma variável aleatória de interesse é: X = {nº. de crianças do sexo masculino}. A cada evento simples, ou ponto de , associamos um número, que é o valor assumido pela variável aleatória X:
Evento MMM MMF MFM FMM MFF FMF FFM FFF
X 3 2 2 2 1 1 1 0
Poderíamos também ter considerado o nº. de crianças do sexo feminino. Os valores de X, na mesma ordem, seriam então 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3.
Obs: A expressão “variável aleatória” será abreviada por “v.a.”.
Definição: Uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis for finito ou infinito numerável.
Exemplos: Número de filhos, Número de bactérias numa lâmina, número de lâmpadas em uma residência, etc.
O passo fundamental para entendermos uma v.a. discreta é associar a cada valor a sua probabilidade, obtendo o que se chamamos de distribuição de probabilidade.
X x1 x2 ... xn
P(X=x) P(X=x1) P(X=x2) ... P(X=xn)
A função de probabilidade (P()) deve satisfazer: 0 ≤ P(X=xi) ≤ 1 p/  xi e   
ni i xXP1
1)(
Exemplo: Um certo departamento da UFSJ é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída, sorteando-se, ao acaso, três membros do departamento. Qual a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?
Seja X = { nº. de mulheres na comissão}.
10.2. Esperança Matemática (Média)
Assim como definimos a média de uma distribuição de freqüências como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas respectivas freqüências relativas, é natural definirmos agora a média de uma v.a., ou de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos dos diversos valores de xi da v.a. pelas respectivas probabilidades P(xi).
A média de uma v.a. X é também chamada valor esperado ou esperança matemática, ou simplesmente esperança de X. É representada por E(X) e se define como



n1i
iinn2211 )xX(Px)xX(Px)xX(Px)xX(Px)X(E 
É uma média ponderada dos xi, em que os pesos são as probabilidades associadas.
Exemplo: Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir dá o número xi de aparelhos vendidos em uma semana e a respectiva probabilidade:
Número xi 0 1 2 3 4 5
Probabilidade P(X = xi) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
Se for de R$ 20,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana?
Espaço Amostral X Probabilidade
HHH 0 203,0
3319x
3420x
3521
 Distribuição de Probabilidade
HHM 1 150,0
3314x
3420x
3521
 X 0 1 2 3 P(X) 0,203 0,450 0,291 0,056
HMH 1
MHH 1 Assim, P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
HMM 2 097,0
3313x
3414x
3521
 = 0,291+ 0,056
MHM 2 = 0,347
MMH 2
MMM 3 056,0
3312x
3413x
3514

Solução: Calculemos inicialmente E(X), que é o número esperado de aparelhos vendidos em uma semana:
E(X) = (0)(0,1) + (1)(0,1) + (2)(0,2) + (3)(0,3) + (4)(0,2) + (5)(0,1) = 2,70.
Para x unidades vendidas o lucro é 20x. Logo, o lucro esperado é de R$ 54,00.
10.3. Variância
Assim como a média é uma medida de posição de uma v.a., é natural que procuremos uma medida de dispersão dessa variável em relação à média. Essa medida é a variância, a ser representada por 2 e definida por



n1i
i
2
i
2 )xX(P))X(Ex()X(Var
Desenvolvendo o termo quadrático do somatório, obtemos uma expressão mais fácil de calcular a variância dada por:
222 )]X(E[)X(E)X(Var 
onde 


n1i
i
2
i
2 )xX(Px)X(E .
Desvio Padrão
O desvio padrão () é a raiz quadrada positiva da variância. Tem sobre essa última a vantagem de exprimir a dispersão na mesma unidade de medida da v.a.:
2
10.4. Exercício – Parte II – A2
1) A distribuição de X: nº de crianças por domicílio numa determinada região é dada pela tabela abaixo:
X 0 1 2 3 4 5
P(X = x) 0,10 0,15 0,25 0,30 0,15 0,05
Calcule:
(a) O número médio de crianças por domicílio, X.
(b) O desvio padrão de X, X.
(c) A probabilidade P{X - X  X  X + X}.
10.5. Distribuição Bernoulli
Na prática existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados.
Exemplos:
1) Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2) Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
3) O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo;
4) No lançamento de um dado ocorre ou não a face 5.
Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas genericamente por respostas do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de ensaio de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição Bernoulli.
Variável Aleatória de Bernoulli
É uma v.a. X que assume apenas dois valores: 1 se ocorrer sucesso, e 0 se ocorrer fracasso, e, sendo p a probabilidade de sucesso, 0 < p < 1.
Denotamos por X ~ Bernoulli (p) uma v. a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro p.
1, se ocorrer “sucesso”
X =
0, se ocorrer “fracasso”
e função de probabilidade,
X 1 0
P(X=x) p 1-p
Segue-se que
E(X) = p e Var(X) = p(1-p)
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo binomial.
10.6. Distribuição Binomial
Experimento Binomial: É o experimento
(a) que consiste em n ensaios de Bernoulli;
(b) cujos ensai