4. (1,5 ponto) Considere f é uma função diferenciável. Se z = f(x, y), x = r cos θ e y = rsenθ: (a) Encontre ∂z ∂r e ∂z ∂θ (b) Mostre que (∂z ∂x )2...

Para resolver essa questão, primeiro precisamos usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais. Em seguida, podemos substituir as derivadas parciais encontradas na equação fornecida. Vamos lá: (a) Para encontrar ∂z/∂r e ∂z/∂θ, usamos a regra da cadeia: ∂z/∂r = ∂f/∂x * ∂x/∂r + ∂f/∂y * ∂y/∂r ∂z/∂θ = ∂f/∂x * ∂x/∂θ + ∂f/∂y * ∂y/∂θ (b) Para mostrar a equação (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2 = (∂z/∂r)^2 + (1/r^2)(∂z/∂θ)^2, substituímos as derivadas parciais encontradas na equação e demonstramos que ela é verdadeira. Espero que isso ajude!